Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 16$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 16$ .

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Paso 1.1

Sustituye $16$ por $x$ .

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + 16^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica $3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 1.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = 3 {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y = 3 \cdot 4^{1} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.4

Evalúa el exponente.

$y = 3 \cdot 4 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.5

Multiplica $3$ por $4$ .

$y = 12 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.6

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = 12 + {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 1.2.4.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.1.8.1

Cancela el factor común.

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 1.2.4.1.8.2

Reescribe la expresión.

$y = 12 + 4^{3}$

Paso 1.2.4.1.9

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$y = 12 + 64$

Paso 1.2.4.2

Suma $12$ y $64$ .

$y = 76$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 16$ y $y = 76$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.9

Combina $3$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Paso 2.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Paso 2.3.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.4.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.4

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \cdot 4}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.3

Divide $12$ por $2$ .

$6 + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.4

Simplifica el denominador.

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Paso 2.6.1.4.1

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.4.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.6.1.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.6.1.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.1.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2}}$

Paso 2.6.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 + \frac{3}{2^{1 + 2}}$

Paso 2.6.1.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$6 + \frac{3}{2^{3}}$

Paso 2.6.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$6 + \frac{3}{8}$

Paso 2.6.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

Paso 2.6.3

Combina $6$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

Paso 2.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 \cdot 8 + 3}{8}$

Paso 2.6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.5.1

Multiplica $6$ por $8$ .

$\frac{48 + 3}{8}$

Paso 2.6.5.2

Suma $48$ y $3$ .

$\frac{51}{8}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{51}{8}$ y un punto dado $(16, 76)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (76) = \frac{51}{8} \cdot (x - (16))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{51}{8} \cdot (x - 16)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 76 = 0 + 0 + \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 76 = \frac{51}{8} x + \frac{51}{8} \cdot - 16$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{51}{8}$ y $x$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot - 16$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Factoriza $8$ de $- 16$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 (- 2))$

Paso 3.3.1.5.2

Cancela el factor común.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 \cdot - 2)$

Paso 3.3.1.5.3

Reescribe la expresión.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + 51 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $51$ por $- 2$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} - 102$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $76$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{51 x}{8} - 102 + 76$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 102$ y $76$ .

$y = \frac{51 x}{8} - 26$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{51}{8} x - 26$

Paso 4