Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{\sqrt{x}}$ , $x = 4$

Paso 1

Escribe $\frac{2}{\sqrt{x}}$ como una ecuación.

$y = \frac{2}{\sqrt{x}}$

Paso 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Paso 2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{4}}$

Paso 2.2

Simplifica $\frac{2}{\sqrt{4}}$ .

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2}{\sqrt{4}}$

Paso 2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \frac{2}{2}$

Paso 2.2.3

Divide $2$ por $2$ .

$y = 1$

Paso 3

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 3.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 3.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 3.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 3.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Paso 3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Paso 3.8.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Paso 3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Paso 3.10

Combina $x^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 3.11

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 3.12

Combina $- 2$ y $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 3.13

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.14

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.15

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.15.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Paso 3.15.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.15.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.17

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$- \frac{1}{{(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.18

Simplifica el denominador.

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Paso 3.18.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.18.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 3.18.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.18.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 3.18.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2^{3}}$

Paso 3.18.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{1}{8}$

Paso 4

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 4.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{8}$ y un punto dado $(4, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

Paso 4.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Paso 4.3

Resuelve $y$

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Paso 4.3.1

Simplifica $- \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Paso 4.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Paso 4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{8} x - \frac{1}{8} \cdot - 4$

Paso 4.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{8}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} - \frac{1}{8} \cdot - 4$

Paso 4.3.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{8}$ al numerador.

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{8} \cdot - 4$

Paso 4.3.1.5.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 (2)} \cdot - 4$

Paso 4.3.1.5.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 4.3.1.5.4

Cancela el factor común.

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 4.3.1.5.5

Reescribe la expresión.

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2} \cdot - 1$

Paso 4.3.1.6

Combina $\frac{- 1}{2}$ y $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- - 1}{2}$

Paso 4.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

Paso 4.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2} + 1$

Paso 4.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 4.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1 + 2}{2}$

Paso 4.3.2.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = - \frac{x}{8} + \frac{3}{2}$

Paso 4.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 4.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{8} x) + \frac{3}{2}$

Paso 4.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{8} x + \frac{3}{2}$

Paso 5