Cálculo Ejemplos

$\log_{5} (1 + x^{2})$

Paso 1

Escribe $\log_{5} (1 + x^{2})$ como una función.

$f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{5} (x)$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.1.1.2

La derivada de $\log_{5} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (2 x)$

Paso 2.1.2.5

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.5.1

Combina $2$ y $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)} x$

Paso 2.1.2.5.2

Combina $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x}{1 \ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $\ln (5)$ por $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Paso 2.1.3.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x = 0$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\ln (5)$ por $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5) + \ln (5)}$

Paso 6.2.2.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5 \cdot 5)}$

Paso 6.2.2.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (25)}$

Paso 6.2.3

Reescribe $\ln (25)$ como $\ln (5^{2})$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5^{2})}$

Paso 6.2.4

Expande $\ln (5^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{2 \ln (5)}$

Paso 6.2.5

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 6.2.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

Paso 6.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 \ln (5)$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\ln (5))}$

Paso 6.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

Paso 6.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{\ln (5)}$

Paso 6.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = - \frac{1}{\ln (5)}$

Paso 6.2.7

La respuesta final es $- \frac{1}{\ln (5)}$ .

$- \frac{1}{\ln (5)}$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $- \frac{1}{\ln (5)}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{(1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{1^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = \frac{2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $\ln (5)$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5) + \ln (5)}$

Paso 7.2.2.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5 \cdot 5)}$

Paso 7.2.2.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (25)}$

Paso 7.2.3

Reescribe $\ln (25)$ como $\ln (5^{2})$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5^{2})}$

Paso 7.2.4

Expande $\ln (5^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

Paso 7.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

Paso 7.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (1) = \frac{1}{\ln (5)}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{\ln (5)}$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $\frac{1}{\ln (5)}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0)$

Paso 9