Cálculo Ejemplos

$9 \cos^{4} (x)$

Paso 1

Escribe $9 \cos^{4} (x)$ como una función.

$f (x) = 9 \cos^{4} (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 \cos^{4} (x)$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$f' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 9 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$f' (x) = 9 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.1.3

Multiplica $4$ por $9$ .

$f' (x) = 36 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 2.1.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 36 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Paso 2.1.5

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$f' (x) = - 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$- 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Paso 3.3

Establece $\cos^{3} (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.1

Establece $\cos^{3} (x)$ igual a $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Paso 3.3.2

Resuelve $\cos^{3} (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\cos (x) = 0$

Paso 3.3.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 3.3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 3.3.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 3.3.2.6

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 3.3.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.3.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 3.3.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.3.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 3.3.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.6.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 3.3.2.6.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 3.3.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 3.3.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.3.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.3.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.3.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.3.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.4

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 3.4.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 3.4.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.4.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.4.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.6

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = 9 \cos^{4} (x)$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{π n}{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π n}{2} - 1$ en la expresión.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Paso 6.2

La respuesta final es $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ .

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Paso 6.3

Simplifica.

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Paso 6.4

En $x = \frac{π n}{2} - 1$ la derivada es $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{π n}{2})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{π n}{2}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π n}{2} + 1$ en la expresión.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Paso 7.2

La respuesta final es $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ .

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Paso 7.3

Simplifica.

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Paso 7.4

En $x = \frac{π n}{2} + 1$ la derivada es $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{π n}{2}, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

Paso 9