Cálculo Ejemplos

$(x - 2) e^{x}$

Paso 1

Escribe $(x - 2) e^{x}$ como una función.

$f (x) = (x - 2) e^{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 2$ y $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.1.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Paso 2.1.3.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Paso 2.1.3.4.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$(x - 2) e^{x} + e^{x}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x e^{x} - 2 e^{x} + e^{x}$

Paso 2.1.4.2

Suma $- 2 e^{x}$ y $e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x}$

Paso 2.1.4.3

Reordena los términos.

$e^{x} x - e^{x}$

Paso 2.1.4.4

Reordena los factores en $e^{x} x - e^{x}$ .

$f' (x) = x e^{x} - e^{x}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x e^{x} - e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x e^{x} - e^{x} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x e^{x} - e^{x} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x} - e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$e^{x} x - e^{x} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot - 1$ .

$e^{x} (x - 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 1$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1$ .

$1$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = x e^{x} - e^{x}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = (x - 2) e^{x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} - e^{0}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 - e^{0}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$f' (0) = 0 - e^{0}$

Paso 6.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (0) = 0 - 1$

Paso 6.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$f' (0) = - 1$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 6.3

En $x = 0$ la derivada es $- 1$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = (2) \cdot e^{2} - e^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $e^{2}$ .

$f' (2) = 2 e^{2} - e^{2}$

Paso 7.2.2

Resta $e^{2}$ de $2 e^{2}$ .

$f' (2) = e^{2}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $e^{2}$ .

$e^{2}$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $e^{2}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 1)$

Paso 9