Cálculo Ejemplos

$y = \sin^{3} (\tan (5 x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sin (\tan (5 x))$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (\tan (5 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (\tan (5 x))]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (\tan (5 x))]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (\tan (5 x))$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) \frac{d}{d x} [\sin (\tan (5 x))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \tan (5 x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\tan (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\tan (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $5 x$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Paso 3.2

La derivada de $\tan (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\sec^{2} (u_{3})$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $5 x$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cdot 5)$

Paso 4.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \cdot (\cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reordena los factores de $5 \cos (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x)))$

Paso 5.2

Reescribe $\sec (5 x)$ en términos de senos y cosenos.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \cos (\tan (5 x)))$

Paso 5.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x)))$

Paso 5.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x)))$

Paso 5.5

Combina $5$ y $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x)))$

Paso 5.6

Combina $\frac{5}{\cos^{2} (5 x)}$ y $\cos (\tan (5 x))$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) \frac{5 \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Paso 5.7

Factoriza $\cos (5 x)$ de $\cos^{2} (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) \frac{5 \cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x) \cos (5 x)}$

Paso 5.8

Separa las fracciones.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x)})$

Paso 5.9

Reescribe $\frac{\cos (\tan (5 x))}{\cos (5 x)}$ como un producto.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \frac{1}{\cos (5 x)}))$

Paso 5.10

Escribe $\cos (\tan (5 x))$ como una fracción con el denominador $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\frac{\cos (\tan (5 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}))$

Paso 5.11

Simplifica.

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Paso 5.11.1

Divide $\cos (\tan (5 x))$ por $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \frac{1}{\cos (5 x)}))$

Paso 5.11.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (5 x)}$ a $\sec (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

Paso 5.12

Separa las fracciones.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)} (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

Paso 5.13

Convierte de $\frac{1}{\cos (5 x)}$ a $\sec (5 x)$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (\frac{5}{1} \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

Paso 5.14

Divide $5$ por $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x)))$

Paso 5.15

Multiplica $5 \sec (5 x) (\cos (\tan (5 x)) \sec (5 x))$ .

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Paso 5.15.1

Eleva $\sec (5 x)$ a la potencia de $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \cos (\tan (5 x)))$

Paso 5.15.2

Eleva $\sec (5 x)$ a la potencia de $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \cos (\tan (5 x)))$

Paso 5.15.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (5 x)))$

Paso 5.15.4

Suma $1$ y $1$ .

$3 \sin^{2} (\tan (5 x)) (5 \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x)))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$15 \sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x))$

Paso 6.2

Reordena los factores de $15 \sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x) \cos (\tan (5 x))$ .

$15 \sec^{2} (5 x) \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Paso 6.3

Reescribe $\sec (5 x)$ en términos de senos y cosenos.

$15 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Paso 6.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$15 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Paso 6.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$15 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Paso 6.6

Combina $15$ y $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$\frac{15}{\cos^{2} (5 x)} \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))$

Paso 6.7

Combina $\frac{15}{\cos^{2} (5 x)}$ y $\sin^{2} (\tan (5 x))$ .

$\frac{15 \sin^{2} (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)} \cos (\tan (5 x))$

Paso 6.8

Combina $\frac{15 \sin^{2} (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$ y $\cos (\tan (5 x))$ .

$\frac{15 \sin^{2} (\tan (5 x)) \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Paso 6.9

Multiplica por $1$ .

$\frac{15 (\sin^{2} (\tan (5 x)) \cdot 1) \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Paso 6.10

Multiplica por $1$ .

$\frac{15 (\sin^{2} (\tan (5 x)) \cdot 1) \cos (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x) \cdot 1}$

Paso 6.11

Separa las fracciones.

$\frac{15 \cdot (1) \cos (\tan (5 x))}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (\tan (5 x))}{\cos^{2} (5 x)}$

Paso 6.12

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ a $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{15 \cdot (1) \cos (\tan (5 x))}{1} (\sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x))$

Paso 6.13

Multiplica $15$ por $1$ .

$\frac{15 \cos (\tan (5 x))}{1} (\sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x))$

Paso 6.14

Divide $15 \cos (\tan (5 x))$ por $1$ .

$15 \cos (\tan (5 x)) \sin^{2} (\tan (5 x)) \sec^{2} (5 x)$