Cálculo Ejemplos

$y = \sin^{-1} (6 x + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin^{-1} (x)$ y $g (x) = 6 x + 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\sin^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin^{-1} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x + 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} (6 + 0)$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}} \cdot 6$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$ y $6$ .

$\frac{6}{\sqrt{1 - {(6 x + 1)}^{2}}}$