Cálculo Ejemplos

$\ln (\sin^{2} (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \cos (x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los factores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \cos (x) \sin (x))$

Paso 4.2

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (\sin (x) (2 \cos (x)))$

Paso 4.3

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} (2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

Paso 4.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \sin (2 x)$

Paso 5.2

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (2 x)$

Paso 5.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Paso 5.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (2 x)$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ y $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 5.6

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 5.7

Cancela el factor común de $\sin (x)$ y $\sin^{2} (x)$ .

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Paso 5.7.1

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Paso 5.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.7.2.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Paso 5.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Paso 5.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 5.8

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 5.9

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Paso 5.10

Divide $2$ por $1$ .

$2 \cot (x)$