Cálculo Ejemplos

$z = w^{\frac{3}{2}} (w + c e^{w})$

Paso 1

Esta derivada no pudo completarse mediante la regla de la cadena. Mathway usará otro método.

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ es $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ donde $f (w) = w^{\frac{3}{2}}$ y $g (w) = w + c e^{w}$ .

$w^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w + c e^{w}] + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $w + c e^{w}$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [c e^{w}]$ .

$w^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [c e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d w} [c e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Paso 3.3

Como $c$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $c e^{w}$ con respecto a $w$ es $c \frac{d}{d w} [e^{w}]$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c \frac{d}{d w} [e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d w} [a^{w}]$ es $a^{w} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 9.2

Resta $2$ de $3$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{1}{2}})$

Paso 10

Combina $\frac{3}{2}$ y $w^{\frac{1}{2}}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$w^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + (w + c e^{w}) \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$w^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11.3

Combina los términos.

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Paso 11.3.1

Multiplica $w^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11.3.2

Combina $w$ y $\frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{w (3 w^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11.3.3

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 (w^{1} w^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11.3.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11.3.7

Suma $2$ y $1$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11.3.8

Combina $\frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $c$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c}{2} e^{w}$

Paso 11.3.9

Combina $\frac{3 w^{\frac{1}{2}} c}{2}$ y $e^{w}$ .

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Paso 11.3.10

Para escribir $w^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Paso 11.3.11

Combina $w^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{w^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Paso 11.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{w^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Paso 11.3.13

Mueve $2$ a la izquierda de $w^{\frac{3}{2}}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{2 \cdot w^{\frac{3}{2}} + 3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Paso 11.3.14

Suma $2 w^{\frac{3}{2}}$ y $3 w^{\frac{3}{2}}$ .

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

Paso 11.4

Reordena los términos.

$e^{w} w^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2}$