Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{5} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.2.4

Combina $\frac{5}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.2.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.2.5.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Como $\frac{7}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7}{2} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.3.3

Combina $4$ y $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.3.4

Multiplica $4$ por $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.3.5

Combina $\frac{28}{2}$ y $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.3.6

Cancela el factor común de $28$ y $2$ .

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Paso 2.1.1.3.6.1

Factoriza $2$ de $28 x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.3.6.2.4

Divide $14 x^{3}$ por $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Como $\frac{71}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{71}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.4.3

Combina $3$ y $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.4.4

Multiplica $3$ por $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.4.5

Combina $\frac{213}{3}$ y $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.4.6

Cancela el factor común de $213$ y $3$ .

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Paso 2.1.1.4.6.1

Factoriza $3$ de $213 x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.4.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.4.6.2.4

Divide $71 x^{2}$ por $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Como $77$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $77 x^{2}$ con respecto a $x$ es $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.5.3

Multiplica $2$ por $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Paso 2.1.1.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Paso 2.1.1.6.1

Como $120$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $120 x$ con respecto a $x$ es $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Paso 2.1.1.6.3

Multiplica $120$ por $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Paso 2.1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x^{3}$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Paso 2.1.2.2.3

Multiplica $3$ por $14$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Paso 2.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [71 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Como $71$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $71 x^{2}$ con respecto a $x$ es $71 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 (2 x) + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Paso 2.1.2.3.3

Multiplica $2$ por $71$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Paso 2.1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [154 x]$ .

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Paso 2.1.2.4.1

Como $154$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $154 x$ con respecto a $x$ es $154 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [120]$

Paso 2.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [120]$

Paso 2.1.2.4.3

Multiplica $154$ por $1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + \frac{d}{d x} [120]$

Paso 2.1.2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.2.5.1

Como $120$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $120$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + 0$

Paso 2.1.2.5.2

Suma $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Factoriza $2$ de $42 x^{2}$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 142 x + 154 = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza $2$ de $142 x$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 154 = 0$

Paso 2.2.2.1.4

Factoriza $2$ de $154$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Paso 2.2.2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Paso 2.2.2.1.6

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x)$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77) = 0$

Paso 2.2.2.1.7

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77)$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77) = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.2.2.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2.2.2.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 77, \pm 38.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 11, \pm 5.5$

Paso 2.2.2.2.1.3

Sustituye $- 3.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 3.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.2.2.2.1.3.1

Sustituye $- 3.5$ en el polinomio.

$2 {(- 3.5)}^{3} + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Paso 2.2.2.2.1.3.2

Eleva $- 3.5$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot - 42.875 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Paso 2.2.2.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 42.875$ .

$- 85.75 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Paso 2.2.2.2.1.3.4

Eleva $- 3.5$ a la potencia de $2$ .

$- 85.75 + 21 \cdot 12.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Paso 2.2.2.2.1.3.5

Multiplica $21$ por $12.25$ .

$- 85.75 + 257.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Paso 2.2.2.2.1.3.6

Suma $- 85.75$ y $257.25$ .

$171.5 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Paso 2.2.2.2.1.3.7

Multiplica $71$ por $- 3.5$ .

$171.5 - 248.5 + 77$

Paso 2.2.2.2.1.3.8

Resta $248.5$ de $171.5$ .

$- 77 + 77$

Paso 2.2.2.2.1.3.9

Suma $- 77$ y $77$ .

$0$

Paso 2.2.2.2.1.4

Como $- 3.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x + 7$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77}{2 x + 7}$

Paso 2.2.2.2.1.5

Divide $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ por $2 x + 7$ .

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Paso 2.2.2.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$7$

$2 x^{3}$

$21 x^{2}$

$71 x$

$77$

Paso 2.2.2.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$

Paso 2.2.2.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			+	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Paso 2.2.2.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + 7 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Paso 2.2.2.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

Paso 2.2.2.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Paso 2.2.2.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $14 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Paso 2.2.2.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$49 x$

Paso 2.2.2.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $14 x^{2} + 49 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$

Paso 2.2.2.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$

Paso 2.2.2.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Paso 2.2.2.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $22 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Paso 2.2.2.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							+	$22 x$	+	$77$

Paso 2.2.2.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $22 x + 77$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$

Paso 2.2.2.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$
										$0$

Paso 2.2.2.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 7 x + 11$

Paso 2.2.2.2.1.6

Escribe $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ como un conjunto de factores.

$2 ((2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11)) = 0$

Paso 2.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$

Paso 2.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Paso 2.2.4

Establece $2 x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Establece $2 x + 7$ igual a $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Paso 2.2.4.2

Resuelve $2 x + 7 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 7$

Paso 2.2.4.2.2

Divide cada término en $2 x = - 7$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 7$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Paso 2.2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Paso 2.2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Paso 2.2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7}{2}$

Paso 2.2.5

Establece $x^{2} + 7 x + 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Establece $x^{2} + 7 x + 11$ igual a $0$ .

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Paso 2.2.5.2

Resuelve $x^{2} + 7 x + 11 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 7$ y $c = 11$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.3.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.3.1.3

Resta $44$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.2.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.4.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.4.1.3

Resta $44$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.2.5.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.2.5.2.4.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.2.5.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Paso 2.2.5.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{5})}{2}$

Paso 2.2.5.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.2.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.2.5.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

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Paso 2.2.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.5.1.3

Resta $44$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.2.5.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.2.5.2.5.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.2.5.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{5})}{2}$

Paso 2.2.5.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (7) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{5})}{2}$

Paso 2.2.5.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.2.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2}) \cup (- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 7$ en la expresión.

$f'' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 7) = 4 \cdot - 343 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 343$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 \cdot 49 + 142 (- 7) + 154$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $42$ por $49$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 + 142 (- 7) + 154$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $142$ por $- 7$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 - 994 + 154$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 1372$ y $2058$ .

$f'' (- 7) = 686 - 994 + 154$

Paso 5.2.2.2

Resta $994$ de $686$ .

$f'' (- 7) = - 308 + 154$

Paso 5.2.2.3

Suma $- 308$ y $154$ .

$f'' (- 7) = - 154$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 154$ .

$- 154$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ porque $f'' (- 7)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = 4 \cdot - 64 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 42 \cdot 16 + 142 (- 4) + 154$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $42$ por $16$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 672 + 142 (- 4) + 154$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $142$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 672 - 568 + 154$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Suma $- 256$ y $672$ .

$f'' (- 4) = 416 - 568 + 154$

Paso 6.2.2.2

Resta $568$ de $416$ .

$f'' (- 4) = - 152 + 154$

Paso 6.2.2.3

Suma $- 152$ y $154$ .

$f'' (- 4) = 2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ porque $f'' (- 4)$ es positiva.

Convexo en $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f'' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3) = 4 \cdot - 27 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Paso 7.2.1.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 42 \cdot 9 + 142 (- 3) + 154$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $42$ por $9$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 378 + 142 (- 3) + 154$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $142$ por $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 378 - 426 + 154$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Suma $- 108$ y $378$ .

$f'' (- 3) = 270 - 426 + 154$

Paso 7.2.2.2

Resta $426$ de $270$ .

$f'' (- 3) = - 156 + 154$

Paso 7.2.2.3

Suma $- 156$ y $154$ .

$f'' (- 3) = - 2$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 7.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ porque $f'' (- 3)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 4 {(0)}^{3} + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 4 \cdot 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Paso 8.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 + 42 \cdot 0 + 142 (0) + 154$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $42$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 142 (0) + 154$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $142$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 0 + 154$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 8.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 154$

Paso 8.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = 0 + 154$

Paso 8.2.2.3

Suma $0$ y $154$ .

$f'' (0) = 154$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $154$ .

$154$

Paso 8.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 10