Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 10}{x^{2} - 100}$

Paso 1

Escribe $\frac{x + 10}{x^{2} - 100}$ como una función.

$f (x) = \frac{x + 10}{x^{2} - 100}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 10$ y $g (x) = x^{2} - 100$ .

$\frac{(x^{2} - 100) \frac{d}{d x} [x + 10] - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{(x^{2} - 100) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 100) (1 + \frac{d}{d x} [10]) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.3

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 100) (1 + 0) - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 100) \cdot 1 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.4.2

Multiplica $x^{2} - 100$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 100$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100])}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [- 100])}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.7

Como $- 100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 100$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - 100 - (x + 10) (2 x)}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 100 - 2 (x + 10) x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 100 + (- 2 x - 2 \cdot 10) x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 100 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 100 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 100 - 2 x^{2} - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $10$ .

$\frac{x^{2} - 100 - 2 x^{2} - 20 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.3.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 100 - 20 x}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} - 20 x - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.1.3.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 100 = 100$ y cuya suma es $b = - 20$ .

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Paso 2.1.1.3.5.1.1

Factoriza $- 20$ de $- 20 x$ .

$\frac{- x^{2} - 20 (x) - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.1.2

Reescribe $- 20$ como $- 10$ más $- 10$

$\frac{- x^{2} + (- 10 - 10) x - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 10 x - 10 x - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1.3.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 10 x) - 10 x - 100}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 10) + 10 (- x - 10)}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 10$ .

$\frac{(- x - 10) (x + 10)}{{(x^{2} - 100)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.6

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.1.3.6.1

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{(- x - 10) (x + 10)}{{(x^{2} - 10^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 10$ .

$\frac{(- x - 10) (x + 10)}{{((x + 10) (x - 10))}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.6.3

Aplica la regla del producto a $(x + 10) (x - 10)$ .

$\frac{(- x - 10) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.3.7.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 10) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.7.2

Reescribe $- 10$ como $- 1 (10)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (10)) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (10)$ .

$\frac{- (x + 10) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.7.4

Reescribe $- (x + 10)$ como $- 1 (x + 10)$ .

$\frac{- 1 (x + 10) (x + 10)}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.7.5

Eleva $x + 10$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 10)}^{1} (x + 10))}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.7.6

Eleva $x + 10$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 10)}^{1} {(x + 10)}^{1})}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.7.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1 {(x + 10)}^{1 + 1}}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.7.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 10)}^{2}}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.8

Cancela el factor común de ${(x + 10)}^{2}$ .

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Paso 2.1.1.3.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 {(x + 10)}^{2}}{{(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{{(x - 10)}^{2}}$

Paso 2.1.1.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 10)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{{(x - 10)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 10)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 10)}^{2}}$ como ${({(x - 10)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 10)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 10)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 10)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 10)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x - 10$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 10$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 10$ .

$- (- 2 {(x - 10)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.4

Diferencia.

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Paso 2.1.2.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 ({(x - 10)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 10]) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.4.4

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.4.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 10)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.1.2.4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{{(x - 10)}^{2}}$ por $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3} + 0$

Paso 2.1.2.4.7.2

Suma $2 {(x - 10)}^{- 3}$ y $0$ .

$2 {(x - 10)}^{- 3}$

Paso 2.1.2.5

Simplifica.

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Paso 2.1.2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 10)}^{3}}$

Paso 2.1.2.5.2

Combina $2$ y $\frac{1}{{(x - 10)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 10)}^{3}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{{(x - 10)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 10)}^{3}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2}{{(x - 10)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{{(x - 10)}^{3}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 2.2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x + 10}{x^{2} - 100}$ .

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x + 10}{x^{2} - 100}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 100 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Suma $100$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 100$

Paso 3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{100}$

Paso 3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{100}$ .

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Paso 3.2.3.1

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

Paso 3.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 10$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 10$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 10$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 10, - 10$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 10) \cup (10, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 10, - 10}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 10) \cup (10, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 10, - 10}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 10) \cup (10, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 10)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 12$ en la expresión.

$f'' (- 12) = \frac{2}{{((- 12) - 10)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1.1

Resta $10$ de $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{2}{{(- 22)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 22$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 12) = \frac{2}{- 10648}$

Paso 5.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ y $- 10648$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (- 12) = \frac{2 (1)}{- 10648}$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 10648$ .

$f'' (- 12) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5324}$

Paso 5.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 12) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 5324}$

Paso 5.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 12) = \frac{1}{- 5324}$

Paso 5.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 12) = - \frac{1}{5324}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{5324}$ .

$- \frac{1}{5324}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 10)$ porque $f'' (- 12)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 10)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 10, 10)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 10)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Resta $10$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 10)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 10$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1000}$

Paso 6.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ y $- 1000$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (0) = \frac{2 (1)}{- 1000}$

Paso 6.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 1000$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 500}$

Paso 6.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 500}$

Paso 6.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{1}{- 500}$

Paso 6.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = - \frac{1}{500}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{500}$ .

$- \frac{1}{500}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 10, 10)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 10, 10)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(10, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $12$ en la expresión.

$f'' (12) = \frac{2}{{((12) - 10)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Resta $10$ de $12$ .

$f'' (12) = \frac{2}{2^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (12) = \frac{2}{8}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (12) = \frac{2 (1)}{8}$

Paso 7.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f'' (12) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (12) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (12) = \frac{1}{4}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(10, \infty)$ porque $f'' (12)$ es positiva.

Convexo en $(10, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 10)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Cóncavo en $(- 10, 10)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(10, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9