Cálculo Ejemplos

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 1

Escribe $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ como una función.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Paso 2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 2.1.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Paso 2.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 2.1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.2.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.2.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.2.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.2.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.2.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 2.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.2.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Paso 2.1.2.4

Simplifica.

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Paso 2.1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Paso 2.1.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Paso 5.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (0) = - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Paso 5.2.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Paso 5.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $2$ por $0$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Paso 5.2.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Paso 5.2.1.8

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 2$ y $0$ .

$f'' (0) = - 2 - 2$

Paso 5.2.2.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$f'' (0) = - 4$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6