Cálculo Ejemplos

$13 e^{- x}$

Paso 1

Escribe $13 e^{- x}$ como una función.

$f (x) = 13 e^{- x}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Como $13$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $13 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$13 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$13 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$13 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.1.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $13$ .

$- 13 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 13 e^{- x} \cdot 1$

Paso 2.1.1.3.4

Multiplica $- 13$ por $1$ .

$f' (x) = - 13 e^{- x}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $- 13$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 13 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$- 13 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 13 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- 13 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.1.2.3

Diferencia.

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Paso 2.1.2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 13 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 13$ .

$13 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$13 e^{- x} \cdot 1$

Paso 2.1.2.3.4

Multiplica $13$ por $1$ .

$f'' (x) = 13 e^{- x}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $13 e^{- x}$ .

$13 e^{- x}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $13 e^{- x} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$13 e^{- x} = 0$

Paso 2.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (13 e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 2.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.2.4

No hay soluciones para $13 e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

La gráfica es convexa porque la segunda derivada es positiva.

La gráfica es convexa.

Paso 5