Cálculo Ejemplos

$\cot (θ) = \frac{12}{5}$ , $\sin (θ) < 0$

Paso 1

La función seno es positiva en el primer y tercer cuadrante. La cotangente es negativa en el segundo y tercer cuadrante. El conjunto de soluciones para $θ$ se limita al tercer cuadrante, ya que ese es el único cuadrante que se encuentra en ambos conjuntos.

La solución está en el tercer cuadrante.

Paso 2

Usa la definición de cotangente para obtener los lados conocidos del triángulo rectángulo del círculo unitario. El cuadrante determina el signo en cada uno de los valores.

$\cot (θ) = \frac{adyacente}{opuesto}$

Paso 3

Obtén la hipotenusa del triángulo del círculo unitario. Dado que se conocen los lados opuesto y adyacente, usa el teorema de Pitágoras para obtener el lado restante.

$Hipotenusa = \sqrt{{opuesto}^{2} + {adyacente}^{2}}$

Paso 4

Reemplaza los valores conocidos en la ecuación.

$Hipotenusa = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 12)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica dentro del radical.

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Paso 5.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{25 + {(- 12)}^{2}}$

Paso 5.2

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

Hipotenusa $= \sqrt{25 + 144}$

Paso 5.3

Suma $25$ y $144$ .

Hipotenusa $= \sqrt{169}$

Paso 5.4

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

Hipotenusa $= \sqrt{13^{2}}$

Paso 5.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

Hipotenusa $= 13$

Paso 6

Obtén el valor del seno.

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Paso 6.1

Usa la definición de seno para obtener el valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sin (θ) = \frac{- 5}{13}$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (θ) = - \frac{5}{13}$

Paso 7

Obtén el valor del coseno.

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Paso 7.1

Usa la definición de coseno para obtener el valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos.

$\cos (θ) = \frac{- 12}{13}$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (θ) = - \frac{12}{13}$

Paso 8

Obtén el valor de la tangente.

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Paso 8.1

Usa la definición de tangente para obtener el valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos.

$\tan (θ) = \frac{- 5}{- 12}$

Paso 8.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\tan (θ) = \frac{5}{12}$

Paso 9

Obtén el valor de la secante.

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Paso 9.1

Usa la definición de secante para obtener el valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Paso 9.2

Sustituye los valores conocidos.

$\sec (θ) = \frac{13}{- 12}$

Paso 9.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sec (θ) = - \frac{13}{12}$

Paso 10

Obtén el valor de la cosecante.

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Paso 10.1

Usa la definición de cosecante para obtener el valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Paso 10.2

Sustituye los valores conocidos.

$\csc (θ) = \frac{13}{- 5}$

Paso 10.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\csc (θ) = - \frac{13}{5}$

Paso 11

Esta es la solución de cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{5}{13}$

$\cos (θ) = - \frac{12}{13}$

$\tan (θ) = \frac{5}{12}$

$\cot (θ) = \frac{12}{5}$

$\sec (θ) = - \frac{13}{12}$

$\csc (θ) = - \frac{13}{5}$