Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos (x))}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(1 - e^{x})}^{2}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el exponente $2$ de ${(1 - e^{x})}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 1 - e^{x})}^{2}}$

Paso 1.3.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x})}^{2}}$

Paso 1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{{(1 - lim_{x \to 0} e^{x})}^{2}}$

Paso 1.3.1.4

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{{(1 - e^{lim_{x \to 0} x})}^{2}}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{{(1 - e^{0})}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos (x))}{{(1 - e^{x})}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Paso 3.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Paso 3.4.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{2}]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 1 - e^{x}$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 u \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

Paso 3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

Paso 3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Paso 3.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 (1 - e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}$

Paso 3.11

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 3.12

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 (1 - e^{x}) e^{x}}$

Paso 3.13

Simplifica.

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Paso 3.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{(- 2 \cdot 1 - 2 (- e^{x})) e^{x}}$

Paso 3.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (- e^{x}) e^{x}}$

Paso 3.13.3

Combina los términos.

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Paso 3.13.3.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 e^{x} - 2 (- e^{x}) e^{x}}$

Paso 3.13.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}}$

Paso 3.13.3.3

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.13.3.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 e^{x} + 2 (e^{x} e^{x})}$

Paso 3.13.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 e^{x} + 2 e^{x + x}}$

Paso 3.13.3.3.3

Suma $x$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 e^{x} + 2 e^{2 x}}$

Paso 3.13.4

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Paso 4.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Paso 4.1.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Paso 4.1.3.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Paso 4.1.3.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Paso 4.1.3.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Paso 4.1.3.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 2 lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 4.1.3.6

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 4.1.3.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 \cdot 0} - 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 4.1.3.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{2 e^{2 \cdot 0} - 2 e^{0}}$

Paso 4.1.3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.8.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{2 e^{0} - 2 e^{0}}$

Paso 4.1.3.8.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot 1 - 2 e^{0}}$

Paso 4.1.3.8.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{0}{2 - 2 e^{0}}$

Paso 4.1.3.8.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{2 - 2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3.8.1.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 4.1.3.8.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.8.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 e^{2 x} - 2 e^{x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2 e^{x}]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2 e^{x}]}$

Paso 4.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2 e^{x}]}$

Paso 4.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{2 x} - 2 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 4.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

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Paso 4.3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 4.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 4.3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 4.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 4.3.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 4.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 4.3.4.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 4.3.4.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 4.3.4.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]}$

Paso 4.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

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Paso 4.3.5.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 e^{x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 e^{2 x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Paso 4.3.5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Paso 5.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - 2 e^{x}}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Paso 5.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Paso 5.5

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Paso 5.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 e^{x}}$

Paso 5.7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 2 lim_{x \to 0} e^{x}}$

Paso 5.8

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\cos (0)}{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\cos (0)}{4 e^{2 \cdot 0} - 2 e^{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 6.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\cos (0)}{4 e^{2 \cdot 0} - 2 e^{0}}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{4 e^{2 \cdot 0} - 2 e^{0}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{4 e^{0} - 2 e^{0}}$

Paso 7.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{4 \cdot 1 - 2 e^{0}}$

Paso 7.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{4 - 2 e^{0}}$

Paso 7.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{4 - 2 \cdot 1}$

Paso 7.2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{4 - 2}$

Paso 7.2.6

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2}$