Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {(e^{x} + 8 x)}^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(e^{x} + 8 x)}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(e^{x} + 8 x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} + 8 x)}^{\frac{1}{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(e^{x} + 8 x)}^{\frac{1}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + 8 x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (e^{x} + 8 x)}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\ln (e^{x} + 8 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + 8 x)}{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (e^{x} + 8 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + 8 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{\frac{\ln (e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.4

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{lim_{x \to 0} x} + 8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{0} + 8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{0} + 8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.6.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.6.1.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.6.2

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.6.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + 8 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + 8 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + 8 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{x} + 8 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{x} + 8 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x} + 8 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + 8 x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + 8 x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + 8 x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [8 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.5

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + 8 x} (e^{x} + 8 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + 8 x} (e^{x} + 8 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.7

Multiplica $8$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + 8 x} (e^{x} + 8)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.8

Simplifica.

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Paso 3.3.8.1

Reordena los factores de $\frac{1}{e^{x} + 8 x} (e^{x} + 8)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} + 8) \frac{1}{e^{x} + 8 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.8.2

Multiplica $e^{x} + 8$ por $\frac{1}{e^{x} + 8 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 8}{e^{x} + 8 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 8}{e^{x} + 8 x}}{1}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 8}{e^{x} + 8 x} \cdot 1}$

Paso 3.5

Multiplica $\frac{e^{x} + 8}{e^{x} + 8 x}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 8}{e^{x} + 8 x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 8}{lim_{x \to 0} e^{x} + 8 x}}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} e^{x} + 8 x}}$

Paso 4.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} e^{x} + 8 x}}$

Paso 4.4

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 8}{lim_{x \to 0} e^{x} + 8 x}}$

Paso 4.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 8}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 8 x}}$

Paso 4.6

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 8}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 8 x}}$

Paso 4.7

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 8}{e^{lim_{x \to 0} x} + 8 lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{e^{0} + 8}{e^{lim_{x \to 0} x} + 8 lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{e^{0} + 8}{e^{0} + 8 lim_{x \to 0} x}}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{e^{0} + 8}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Reescribe $e^{0}$ como ${(e^{0})}^{3}$ .

$e^{\frac{{(e^{0})}^{3} + 8}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$e^{\frac{{(e^{0})}^{3} + 2^{3}}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = e^{0}$ y $b = 2$ .

$e^{\frac{(e^{0} + 2) ({(e^{0})}^{2} - e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{\frac{(1 + 2) ({(e^{0})}^{2} - e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.4.2

Suma $1$ y $2$ .

$e^{\frac{3 ({(e^{0})}^{2} - e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.4.3

Multiplica los exponentes en ${(e^{0})}^{2}$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{3 (e^{0 \cdot 2} - e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.4.3.2

Multiplica $0$ por $2$ .

$e^{\frac{3 (e^{0} - e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{\frac{3 (1 - e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.4.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{\frac{3 (1 - 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.4.6

Multiplica $- 1 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 6.1.4.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{\frac{3 (1 - 1 \cdot 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.4.6.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{\frac{3 (1 - 2 + 2^{2})}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.4.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e^{\frac{3 (1 - 2 + 4)}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.4.8

Resta $2$ de $1$ .

$e^{\frac{3 (- 1 + 4)}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.1.4.9

Suma $- 1$ y $4$ .

$e^{\frac{3 \cdot 3}{e^{0} + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$e^{\frac{3 \cdot 3}{1 + 8 \cdot 0}}$

Paso 6.2.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$e^{\frac{3 \cdot 3}{1 + 0}}$

Paso 6.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{3 \cdot 3}{1}}$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$e^{\frac{9}{1}}$

Paso 6.4

Divide $9$ por $1$ .

$e^{9}$