Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Paso 1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el exponente $2$ de $\sin^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reordena los factores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 3.5.2

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \cos (x))}$

Paso 3.5.3

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Paso 3.5.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

Paso 4

El límite de $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ a medida que $x$ se acerca a $0$ es $1$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 4.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 4.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Paso 4.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 4.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.5.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 4.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Paso 4.3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Paso 4.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 4.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \sec (2 x)$

Paso 4.6

Evalúa el límite.

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Paso 4.6.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\sec (lim_{x \to 0} 2 x)$

Paso 4.6.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sec (2 lim_{x \to 0} x)$

Paso 4.7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sec (2 \cdot 0)$

Paso 4.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.8.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\sec (0)$

Paso 4.8.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1$