Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} x \tan (\frac{5}{x})$

Paso 1

Reescribe $x \tan (\frac{5}{x})$ como $\frac{\tan (\frac{5}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{5}{x})}{\frac{1}{x}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \tan (\frac{5}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\tan (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.3.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{5}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{5}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{5}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = \frac{5}{x}$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{5}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{5}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) (5 (- x^{- 2}))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) (- 5 x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) (- 5 \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) (- \frac{5}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.2.3

Combina $\sec^{2} (\frac{5}{x})$ y $\frac{5}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) \cdot 5}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.2.4

Mueve $5$ a la izquierda de $\sec^{2} (\frac{5}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5 \sec^{2} (\frac{5}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.7.3.1

Reescribe $\sec (\frac{5}{x})$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5 {(\frac{1}{\cos (\frac{5}{x})})}^{2}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\frac{5}{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.4

Combina $5$ y $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{5}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (\frac{5}{\cos^{2} (\frac{5}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.6

Combinar.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5 \cdot 1}{\cos^{2} (\frac{5}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.7

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5}{\cos^{2} (\frac{5}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.7.8

Reordena los factores en $- \frac{5}{\cos^{2} (\frac{5}{x}) x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.8

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}}{- x^{- 2}}$

Paso 2.3.10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} - \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})} (- x^{2})$

Paso 2.5

Combina factores.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})} x^{2}$

Paso 2.5.2

Multiplica $\frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})} x^{2}$

Paso 2.5.3

Combina $\frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{5}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}$

Paso 2.7

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5}{\cos^{2} (\frac{5}{x}) \cdot 1}$

Paso 2.8

Separa las fracciones.

$lim_{x \to \infty} \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}$

Paso 2.9

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}$ a $\sec^{2} (\frac{5}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5}{1} \sec^{2} (\frac{5}{x})$

Paso 2.10

Divide $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 5 \sec^{2} (\frac{5}{x})$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 lim_{x \to \infty} \sec^{2} (\frac{5}{x})$

Paso 3.2

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (\frac{5}{x})$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$5 {(lim_{x \to \infty} \sec (\frac{5}{x}))}^{2}$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$5 \sec^{2} (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})$

Paso 3.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 \sec^{2} (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$5 \sec^{2} (5 \cdot 0)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$5 \sec^{2} (0)$

Paso 5.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$5 \cdot 1^{2}$

Paso 5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 \cdot 1$

Paso 5.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$