Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\tan (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Paso 1.3.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.5

Suma $2 e^{2 x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 3.6

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\sec^{2} (x)}$

Paso 4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x}}{\sec^{2} (x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 6

Mueve el límite dentro del exponente.

$2 \frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Paso 9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{e^{2 \cdot 0}}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{e^{2 \cdot 0}}{\sec^{2} (0)}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \frac{e^{0}}{\sec^{2} (0)}$

Paso 11.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$2 \frac{1}{1^{2}}$

Paso 11.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 (\frac{1}{1})$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 11.3.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{1})$

Paso 11.3.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 1$

Paso 11.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$