Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (5 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 \cdot 0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.7

Multiplica $3$ por $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 3.8.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 3.9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}$

Paso 3.11

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{\cos (5 x) \cdot 5}$

Paso 3.12

Mueve $5$ a la izquierda de $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{5 \cdot \cos (5 x)}$

Paso 3.13

Multiplica $5$ por $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{5 \cos (5 x)}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{3}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x)}{\cos (5 x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 7

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Paso 9

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 11.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 11.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 11.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 11.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{5} \cdot 1$

Paso 11.4

Multiplica $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$\frac{3}{5}$