Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 x^{2} + 10 x - 1}{8 x^{2} - 5 x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} + 10 x - 1}{lim_{x \to - \infty} 8 x^{2} - 5 x}$

Paso 1.2

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado par con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 8 x^{2} - 5 x}$

Paso 1.3

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado par con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 x^{2} + 10 x - 1}{8 x^{2} - 5 x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 10 x - 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 10 x - 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 10 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $9$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 + 0}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Paso 3.6

Suma $18 x + 10$ y $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{2} - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Paso 3.8.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Paso 3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5 \cdot 1}$

Paso 3.9.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5}$

Paso 4

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{18 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{18 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Paso 5.1.2

Divide $18$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Paso 5.2.1.2

Divide $16$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{16 + \frac{- 5}{x}}$

Paso 5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{16 - \frac{5}{x}}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 18 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Paso 5.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 18 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $18$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{18 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Paso 5.6

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{18 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Paso 7.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - 5 \cdot 0}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Cancela el factor común de $18 + 10 \cdot 0$ y $16 - 5 \cdot 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Reescribe $16$ como $- 1 (- 16)$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16) - 5 \cdot 0}$

Paso 9.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 5 \cdot 0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16) - (5 \cdot 0)}$

Paso 9.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 16) - (5 \cdot 0)$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 5 \cdot 0)}$

Paso 9.1.4

Reordena los términos.

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Paso 9.1.5

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 (9) + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Paso 9.1.6

Factoriza $2$ de $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (9) + 2 (5 \cdot 0)}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Paso 9.1.7

Factoriza $2$ de $2 (9) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Paso 9.1.8

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.8.1

Factoriza $2$ de $- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{2 (- 1 (- 8 + 0 \cdot 5))}$

Paso 9.1.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{2 (- 1 (- 8 + 0 \cdot 5))}$

Paso 9.1.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9 + 5 \cdot 0}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Paso 9.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{9 + 0}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Paso 9.2.2

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{9}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Paso 9.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Multiplica $0$ por $5$ .

$\frac{9}{- 1 (- 8 + 0)}$

Paso 9.3.2

Suma $- 8$ y $0$ .

$\frac{9}{- 1 \cdot - 8}$

Paso 9.4

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$\frac{9}{8}$