Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1

Divide con la división polinómica larga.

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$3 x$

$1$

Paso 1.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x^{2} + \frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 2

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Paso 2.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 2.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Paso 2.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2.3

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

Paso 2.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Paso 2.5.2

Divide $3 x - 1$ por $1$ .

$3 x - 1 = \frac{(A) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Paso 2.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 2.6.1.1

Cancela el factor común.

$3 x - 1 = \frac{A {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Paso 2.6.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ y $x - 1$ .

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Paso 2.6.2.1

Factoriza $x - 1$ de $(B) {(x - 1)}^{2}$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{x - 1}$

Paso 2.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Paso 2.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 x - 1 = A + \frac{(x - 1) (B (x - 1))}{(x - 1) \cdot 1}$

Paso 2.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 x - 1 = A + \frac{B (x - 1)}{1}$

Paso 2.6.2.2.4

Divide $B (x - 1)$ por $1$ .

$3 x - 1 = A + B (x - 1)$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x - 1 = A + B x + B \cdot - 1$

Paso 2.6.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$3 x - 1 = A + B x - 1 \cdot B$

Paso 2.6.5

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$3 x - 1 = A + B x - B$

Paso 2.7

Reordena $A$ y $B x$ .

$3 x - 1 = B x + A - B$

Paso 3

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$3 = B$

Paso 3.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = A - 1 B$

Paso 3.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$3 = B$

$- 1 = A - 1 B$

$3 = B$

$- 1 = A - 1 B$

Paso 4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $B = 3$ .

$B = 3$

$- 1 = A - 1 B$

Paso 4.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 4.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 1 = A - 1 B$ por $3$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 3$

$B = 3$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

$- 1 = A - 3$

$B = 3$

Paso 4.3

Resuelve $A$ en $- 1 = A - 3$ .

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $A - 3 = - 1$ .

$A - 3 = - 1$

$B = 3$

Paso 4.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$A = - 1 + 3$

$B = 3$

Paso 4.3.2.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

Paso 4.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = 2 B = 3$

Paso 4.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 2, B = 3$

Paso 5

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $x^{2} + \frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$x^{2} + \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{3}{x - 1}$