Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

Paso 1.3.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Paso 2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Paso 2.3.5

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 2 (x (\sin (x))) + 2 \cos (x)$

Paso 2.4.3.3

Resta $2 x \sin (x)$ de $- 2 \sin (x) x$ .

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Paso 2.4.3.3.1

Mueve $\sin (x)$ .

$- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Paso 2.4.3.3.2

Resta $2 x \sin (x)$ de $- 2 x \sin (x)$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$ .

$- x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$