Cálculo Ejemplos

$f (u) = \frac{u}{u^{2} + 6}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ es $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ donde $f (u) = u$ y $g (u) = u^{2} + 6$ .

$\frac{(u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 6) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $u^{2} + 6$ por $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $u^{2} + 6$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6])}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u + \frac{d}{d u} [6])}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $6$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $6$ con respecto a $u$ es $0$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u + 0)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $2 u$ y $0$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u \cdot u}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 (u^{1} u)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 (u^{1} u^{1})}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u^{1 + 1}}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u^{2}}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.7

Resta $2 u^{2}$ de $u^{2}$ .

$\frac{- u^{2} + 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$\frac{- (u^{2}) + 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.8.2

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (u^{2}) - 1 (- 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.8.3

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2}) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (u^{2} - 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.8.4

Reescribe $- (u^{2} - 6)$ como $- 1 (u^{2} - 6)$ .

$\frac{- 1 (u^{2} - 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 1.8.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (u) = - \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ es $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ donde $f (u) = - 1$ y $g (u) = \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d u} [\frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}] + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.2

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{({(u^{2} + 6)}^{2})}^{2}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(u^{2} + 6)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u^{2} - 6$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [- 6]) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.3.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $u$ es $0$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u + 0) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Suma $2 u$ y $0$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(u^{2} + 6)}^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ es $f' (g (u)) g' (u)$ donde $f (u) = u^{2}$ y $g (u) = u^{2} + 6$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (2 u_{1} \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (2 (u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u^{2} + 6$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u + \frac{d}{d u} [6]))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.5.4

Como $6$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $6$ con respecto a $u$ es $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u + 0))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.5.1

Suma $2 u$ y $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.5.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) (2 \cdot (u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.5.5.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Paso 2.5.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $u$ es $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \cdot 0$

Paso 2.5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.7.1

Multiplica $\frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$ por $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + 0$

Paso 2.5.7.2

Suma $- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$ y $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.3.1.1

Reescribe ${(u^{2} + 6)}^{2}$ como $(u^{2} + 6) (u^{2} + 6)$ .

$- \frac{2 ((u^{2} + 6) (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.2

Expande $(u^{2} + 6) (u^{2} + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.6.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (u^{2} (u^{2} + 6) + 6 (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (u^{2} u^{2} + u^{2} \cdot 6 + 6 (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 (u^{2} u^{2} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.3.1.3.1.1

Multiplica $u^{2}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.3.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 (u^{2 + 2} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$- \frac{2 (u^{4} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.3.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 6 \cdot u^{2} + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.3.1.3

Multiplica $6$ por $6$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 6 u^{2} + 6 u^{2} + 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.3.2

Suma $6 u^{2}$ y $6 u^{2}$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 12 u^{2} + 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(2 u^{4} + 2 (12 u^{2}) + 2 \cdot 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.5

Simplifica.

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Paso 2.6.3.1.5.1

Multiplica $12$ por $2$ .

$- \frac{(2 u^{4} + 24 u^{2} + 2 \cdot 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.5.2

Multiplica $2$ por $36$ .

$- \frac{(2 u^{4} + 24 u^{2} + 72) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 u^{4} u + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.3.1.7.1

Multiplica $u^{4}$ por $u$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.3.1.7.1.1

Mueve $u$ .

$- \frac{2 (u \cdot u^{4}) + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.7.1.2

Multiplica $u$ por $u^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.3.1.7.1.2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 (u^{1} u^{4}) + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 u^{1 + 4} + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.7.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.7.2

Multiplica $u^{2}$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.3.1.7.2.1

Mueve $u$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 (u \cdot u^{2}) + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.7.2.2

Multiplica $u$ por $u^{2}$ .

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Paso 2.6.3.1.7.2.2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 (u^{1} u^{2}) + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{1 + 2} + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.7.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.8

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.9

Multiplica $u^{2}$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.3.1.9.1

Multiplica $u^{2}$ por $u$ .

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Paso 2.6.3.1.9.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2} u^{1} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.9.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2 + 1} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.9.2

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.10

Expande $(- 4 u^{2} + 24) (u^{3} + 6 u)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.6.3.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} (u^{3} + 6 u) + 24 (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} u^{3} - 4 u^{2} (6 u) + 24 (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} u^{3} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.6.3.1.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.3.1.11.1.1

Multiplica $u^{2}$ por $u^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.3.1.11.1.1.1

Mueve $u^{3}$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 (u^{3} u^{2}) - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.11.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{3 + 2} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.11.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.11.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{2} u + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.11.1.3

Multiplica $u^{2}$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.3.1.11.1.3.1

Mueve $u$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 (u \cdot u^{2}) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.11.1.3.2

Multiplica $u$ por $u^{2}$ .

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Paso 2.6.3.1.11.1.3.2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 (u^{1} u^{2}) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.11.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{1 + 2} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.11.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{3} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.11.1.4

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 24 u^{3} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.11.1.5

Multiplica $6$ por $24$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 24 u^{3} + 24 u^{3} + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.11.2

Suma $- 24 u^{3}$ y $24 u^{3}$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} + 0 + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.1.11.3

Suma $- 4 u^{5}$ y $0$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.2

Resta $4 u^{5}$ de $2 u^{5}$ .

$- \frac{- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.3.3

Suma $72 u$ y $144 u$ .

$- \frac{- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.4.1

Factoriza $2 u$ de $- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 216 u$ .

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Paso 2.6.4.1.1

Factoriza $2 u$ de $- 2 u^{5}$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 24 u^{3} + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.2

Factoriza $2 u$ de $24 u^{3}$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2}) + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.3

Factoriza $2 u$ de $216 u$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2}) + 2 u (108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.4

Factoriza $2 u$ de $2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2})$ .

$- \frac{2 u (- u^{4} + 12 u^{2}) + 2 u (108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.1.5

Factoriza $2 u$ de $2 u (- u^{4} + 12 u^{2}) + 2 u (108)$ .

$- \frac{2 u (- u^{4} + 12 u^{2} + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.2

Reescribe $u^{4}$ como ${(u^{2})}^{2}$ .

$- \frac{2 u (- {(u^{2})}^{2} + 12 u^{2} + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.3

Sea $u = u^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} + 12 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.6.4.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 108 = - 108$ y cuya suma es $b = 12$ .

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Paso 2.6.4.4.1.1

Factoriza $12$ de $12 u$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} + 12 (u) + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.4.1.2

Reescribe $12$ como $- 6$ más $18$

$- \frac{2 u (- u^{2} + (- 6 + 18) u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 u (- u^{2} - 6 u + 18 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.6.4.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- \frac{2 u ((- u^{2} - 6 u) + 18 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- \frac{2 u (u (- u - 6) - 18 (- u - 6))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u - 6$ .

$- \frac{2 u ((- u - 6) (u - 18))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} - 6) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.5

Cancela el factor común de $- u^{2} - 6$ y ${(u^{2} + 6)}^{4}$ .

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Paso 2.6.5.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2}) - 6) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.5.2

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2}) - 1 (6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2}) - 1 (6)$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.5.4

Reescribe $- (u^{2} + 6)$ como $- 1 (u^{2} + 6)$ .

$- \frac{2 u (- 1 (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.5.5

Factoriza $u^{2} + 6$ de $2 u (- 1 (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)$ .

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Paso 2.6.5.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.5.6.1

Factoriza $u^{2} + 6$ de ${(u^{2} + 6)}^{4}$ .

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{(u^{2} + 6) {(u^{2} + 6)}^{3}}$

Paso 2.6.5.6.2

Cancela el factor común.

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{(u^{2} + 6) {(u^{2} + 6)}^{3}}$

Paso 2.6.5.6.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Paso 2.6.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{- 2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Paso 2.6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Paso 2.6.8

Multiplica $- - \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ .

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Paso 2.6.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Paso 2.6.8.2

Multiplica $\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (u) = \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ .

$\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$