Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{2} - 11 x - \frac{6}{x^{4}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 11 x - \frac{6}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11 x$ con respecto a $x$ es $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 11$ por $1$ .

$10 x - 11 + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{6}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$10 x - 11 - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Paso 1.4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$10 x - 11 - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 1.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$10 x - 11 - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 1.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$10 x - 11 - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 1.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$10 x - 11 - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 1.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$10 x - 11 - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Paso 1.4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 1.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 x - 11 - 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Paso 1.4.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$10 x - 11 - 6 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Paso 1.4.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$10 x - 11 - 6 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Paso 1.4.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$10 x - 11 - 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Paso 1.4.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 x - 11 - 6 (- 4 x^{3 - 8})$

Paso 1.4.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$10 x - 11 - 6 (- 4 x^{- 5})$

Paso 1.4.8

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$10 x - 11 + 24 x^{- 5}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 x - 11 + 24 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 1.5.2

Combina $24$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$10 x - 11 + \frac{24}{x^{5}}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 10 x + \frac{24}{x^{5}} - 11$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x + \frac{24}{x^{5}} - 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.2.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x^{5}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{24}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$10 + 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$10 + 24 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$10 + 24 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$10 + 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$10 + 24 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$10 + 24 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 + 24 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$10 + 24 (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$10 + 24 (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.7

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$10 + 24 (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 + 24 (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$10 + 24 (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 5$ por $24$ .

$10 - 120 x^{- 6} + \frac{d}{d x} [- 11]$

Paso 2.4

Como $- 11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 - 120 x^{- 6} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 - 120 \frac{1}{x^{6}} + 0$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Combina $- 120$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$10 + \frac{- 120}{x^{6}} + 0$

Paso 2.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 - \frac{120}{x^{6}} + 0$

Paso 2.5.2.3

Suma $10 - \frac{120}{x^{6}}$ y $0$ .

$10 - \frac{120}{x^{6}}$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = - \frac{120}{x^{6}} + 10$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{120}{x^{6}} + 10$ .

$- \frac{120}{x^{6}} + 10$