Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$12 x + 6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$12 x + 6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$12 x + 6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$12 x + 6 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Paso 1.1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$12 x + 6 (2 \cdot \cos (2 x))$

Paso 1.1.3.7

Multiplica $2$ por $6$ .

$f' (x) = 12 x + 12 \cos (2 x)$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x + 12 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 \cos (2 x)]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$12 + 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$12 + 12 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.2.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$12 + 12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 1.2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$12 + 12 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Paso 1.2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$12 + 12 (- 2 \sin (2 x))$

Paso 1.2.3.7

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$f'' (x) = 12 - 24 \sin (2 x)$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 - 24 \sin (2 x)$ .

$12 - 24 \sin (2 x)$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 - 24 \sin (2 x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 - 24 \sin (2 x) = 0$

Paso 2.2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$- 24 \sin (2 x) = - 12$

Paso 2.3

Divide cada término en $- 24 \sin (2 x) = - 12$ por $- 24$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- 24 \sin (2 x) = - 12$ por $- 24$ .

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 24$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 24 \sin (2 x)}{- 24} = \frac{- 12}{- 24}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12}{- 24}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $- 24$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Factoriza $- 12$ de $- 12$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12 (1)}{- 24}$

Paso 2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Factoriza $- 12$ de $- 24$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (2 x) = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 2}$

Paso 2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 2.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Paso 2.6

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.6.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 2.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 2.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.6.3.2

Multiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.6.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Paso 2.6.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Paso 2.7

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Paso 2.8

Resuelve $x$

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Paso 2.8.1

Simplifica.

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Paso 2.8.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 2.8.1.2

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 2.8.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 2.8.1.4

Resta $π$ de $π \cdot 6$ .

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Paso 2.8.1.4.1

Reordena $π$ y $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 2.8.1.4.2

Resta $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Paso 2.8.2

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.8.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 2.8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.8.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 2.8.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 2.8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.8.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.8.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.8.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Paso 2.8.2.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Paso 2.9

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

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Paso 2.9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.9.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 2.9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.9.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.9.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.10

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{π}{12}$ en $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{12}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{12}) = 6 {(\frac{π}{12})}^{2} + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{π}{12}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{144}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Paso 3.1.2.1.3

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.1.2.1.3.1

Factoriza $6$ de $144$ .

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{6 (24)}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Paso 3.1.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{12}) = 6 (\frac{π^{2}}{6 \cdot 24}) + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Paso 3.1.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{12}))$

Paso 3.1.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

Paso 3.1.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

Paso 3.1.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.1.2.1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 6 (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 2 (3) (\frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2}))$

Paso 3.1.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π^{2}}{24} + 3$

Paso 3.1.2.2

La respuesta final es $\frac{π^{2}}{24} + 3$ .

$\frac{π^{2}}{24} + 3$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{π}{12}$ en $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ es $(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3)$

Paso 3.3

Sustituye $\frac{5 π}{12}$ en $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{12}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 {(\frac{5 π}{12})}^{2} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5 π}{12}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{{(5 π)}^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Paso 3.3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{5^{2} π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{12^{2}}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{144}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Paso 3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Factoriza $6$ de $144$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{6 (24)}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Paso 3.3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{12}) = 6 (\frac{25 π^{2}}{6 \cdot 24}) + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Paso 3.3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{12}))$

Paso 3.3.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

Paso 3.3.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

Paso 3.3.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 3.3.2.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.3.2.1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 6 (\frac{1}{2})$

Paso 3.3.2.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.8.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 2 (3) (\frac{1}{2})$

Paso 3.3.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2}))$

Paso 3.3.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{25 π^{2}}{24} + 3$

Paso 3.3.2.2

La respuesta final es $\frac{25 π^{2}}{24} + 3$ .

$\frac{25 π^{2}}{24} + 3$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{5 π}{12}$ en $f (x) = 6 x^{2} + 6 \sin (2 x)$ es $(\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{π}{12}) \cup (\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}) \cup (\frac{5 π}{12}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{π}{12})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.16179938$ en la expresión.

$f'' (0.16179938) = 12 - 24 \sin (2 (0.16179938))$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $0.16179938$ .

$f'' (0.16179938) = 12 - 24 \sin (0.32359877)$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $12 - 24 \sin (0.32359877)$ .

$12 - 24 \sin (0.32359877)$

Paso 5.3

En $0.16179938$ , la segunda derivada es $4.36846556$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, \frac{π}{12})$ .

Incremento en $(- \infty, \frac{π}{12})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.78539816$ en la expresión.

$f'' (0.78539816) = 12 - 24 \sin (2 (0.78539816))$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $0.78539816$ .

$f'' (0.78539816) = 12 - 24 \sin (1.57079632)$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $12 - 24 \sin (1.57079632)$ .

$12 - 24 \sin (1.57079632)$

Paso 6.3

En $0.78539816$ , la segunda derivada es $- 12$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ .

Decrecimiento en $(\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.40899693$ en la expresión.

$f'' (1.40899693) = 12 - 24 \sin (2 (1.40899693))$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $1.40899693$ .

$f'' (1.40899693) = 12 - 24 \sin (2.81799387)$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $12 - 24 \sin (2.81799387)$ .

$12 - 24 \sin (2.81799387)$

Paso 7.3

En $1.40899693$ , la segunda derivada es $4.36846556$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{5 π}{12}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{π^{2}}{24} + 3), (\frac{5 π}{12}, \frac{25 π^{2}}{24} + 3)$

Paso 9