Cálculo Ejemplos

$y = x^{2}$ , $y = 1$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = x^{2}$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$V = 1 - {(x^{2})}^{2}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 1 - x^{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$V = 1 - x^{4}$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{4} d x)$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$V = π (x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - x^{4} d x)$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$V = π (x]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{4} d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (x]_{- 1}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}))$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$V = π (x]_{- 1}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}))$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $x$ en $1$ y en $- 1$ .

$V = π ((1) + 1 - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}))$

Paso 7.2.2

Evalúa $\frac{x^{5}}{5}$ en $1$ y en $- 1$ .

$V = π (1 + 1 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 7.2.3

Simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Suma $1$ y $1$ .

$V = π (2 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 7.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$V = π (2 - (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Paso 7.2.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$V = π (2 - (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}))$

Paso 7.2.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$V = π (2 - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}))$

Paso 7.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (2 - (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})))$

Paso 7.2.3.6

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$V = π (2 - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}))$

Paso 7.2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (2 - \frac{1 + 1}{5})$

Paso 7.2.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$V = π (2 - \frac{2}{5})$

Paso 7.2.3.9

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5})$

Paso 7.2.3.10

Combina $2$ y $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 5}{5} - \frac{2}{5})$

Paso 7.2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{2 \cdot 5 - 2}{5})$

Paso 7.2.3.12

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.12.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$V = π (\frac{10 - 2}{5})$

Paso 7.2.3.12.2

Resta $2$ de $10$ .

$V = π (\frac{8}{5})$

Paso 7.2.3.13

Combina $π$ y $\frac{8}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 8}{5}$

Paso 7.2.3.14

Mueve $8$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{8 π}{5}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{8 π}{5}$

Forma decimal:

$V = 5.02654824 \dots$

Paso 9