Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan (x)$ , $(\frac{3 π}{4}, - 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{3 π}{4}$ y $y = - 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 1.2

Evalúa la derivada en $x = \frac{3 π}{4}$ .

$\sec^{2} (\frac{3 π}{4})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el segundo cuadrante.

${(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2}$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}$

Paso 1.3.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2}$

Paso 1.3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.3.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Paso 1.3.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Paso 1.3.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Paso 1.3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Paso 1.3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Paso 1.3.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Paso 1.3.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Paso 1.3.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Paso 1.3.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.4.6.4.1

Cancela el factor común.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Paso 1.3.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Paso 1.3.4.6.5

Evalúa el exponente.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.5.1

Cancela el factor común.

${(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 1.3.5.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

${(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 1.3.6.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 1.3.6.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

${\sqrt{2}}^{2}$

Paso 1.3.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 1.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 1.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$2^{1}$

Paso 1.3.7.5

Evalúa el exponente.

$2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(\frac{3 π}{4}, - 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 2 \cdot (x - (\frac{3 π}{4}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 1 = 2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 1 = 2 \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = 2 x + 2 (- \frac{3 π}{4})$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 π}{4}$ al numerador.

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{- 3 π}{4}$

Paso 2.3.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{- 3 π}{2 (2)}$

Paso 2.3.1.4.3

Cancela el factor común.

$y + 1 = 2 x + 2 \frac{- 3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y + 1 = 2 x + \frac{- 3 π}{2}$

Paso 2.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + 1 = 2 x - \frac{3 π}{2}$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x - \frac{3 π}{2} - 1$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 x - \frac{3 π}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 x - \frac{3 π}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 2 x + \frac{- 3 π - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = 2 x + \frac{- 3 π - 2}{2}$

Paso 2.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 3 π$ .

$y = 2 x + \frac{- (3 π) - 2}{2}$

Paso 2.3.3.6

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y = 2 x + \frac{- (3 π) - 1 (2)}{2}$

Paso 2.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (3 π) - 1 (2)$ .

$y = 2 x + \frac{- (3 π + 2)}{2}$

Paso 2.3.3.8

Reescribe $- (3 π + 2)$ como $- 1 (3 π + 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- 1 (3 π + 2)}{2}$

Paso 2.3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 2 x - \frac{3 π + 2}{2}$

Paso 3