Cálculo Ejemplos

$\cos (4 y) = x$ , $(0, \frac{π}{8})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = \frac{π}{8}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cos (4 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 4 y$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 1.2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 y$ .

$- \sin (4 y) \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (4 y) (4 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \sin (4 y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 4 \sin (4 y) y'$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 4 \sin (4 y) y' = 1$

Paso 1.5

Divide cada término en $- 4 \sin (4 y) y' = 1$ por $- 4 \sin (4 y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.1

Divide cada término en $- 4 \sin (4 y) y' = 1$ por $- 4 \sin (4 y)$ .

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 \sin (4 y) y'}{- 4 \sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Paso 1.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común de $\sin (4 y)$ .

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (4 y) y'}{\sin (4 y)} = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Paso 1.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- 4 \sin (4 y)}$

Paso 1.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.1

Separa las fracciones.

$y' = \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{\sin (4 y)}$

Paso 1.5.3.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (4 y)}$ a $\csc (4 y)$ .

$y' = \frac{1}{- 4} \csc (4 y)$

Paso 1.5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1}{4} \csc (4 y)$

Paso 1.5.3.4

Combina $\csc (4 y)$ y $\frac{1}{4}$ .

$y' = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (4 y)}{4}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 0$ y $y = \frac{π}{8}$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$- \frac{\csc (4 y)}{4}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $\frac{π}{8}$ en la expresión.

$- \frac{\csc (4 (\frac{π}{8}))}{4}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.7.3.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 (2)})}{4}$

Paso 1.7.3.1.2

Cancela el factor común.

$- \frac{\csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2})}{4}$

Paso 1.7.3.1.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\csc (\frac{π}{2})}{4}$

Paso 1.7.3.2

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{4}$ y un punto dado $(0, \frac{π}{8})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{8}) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{1}{4} \cdot (x + 0)$ .

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Paso 2.3.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - \frac{π}{8} = - \frac{1}{4} \cdot x$

Paso 2.3.1.2

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$y - \frac{π}{8} = - \frac{x}{4}$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{π}{8}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{π}{8}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{π}{8}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{π}{8}$

Paso 3