Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ ; $[1, 8]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[1, 8]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ en $8$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.5

Combina $\frac{3}{4}$ y $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.6

Multiplica $3$ por $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.7

Cancela el factor común de $48$ y $4$ .

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Paso 7.2.7.1

Factoriza $4$ de $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.7.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.7.2.4

Divide $12$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Paso 7.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4})$

Paso 7.2.10

Para escribir $12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Paso 7.2.11

Combina $12$ y $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Paso 7.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4 - 3}{4})$

Paso 7.2.13

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.13.1

Multiplica $12$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48 - 3}{4})$

Paso 7.2.13.2

Resta $3$ de $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{45}{4})$

Paso 8

Resta $1$ de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Paso 9

Multiplica $\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$ .

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{45}{4}$ .

$A (x) = \frac{45}{7 \cdot 4}$

Paso 9.2

Multiplica $7$ por $4$ .

$A (x) = \frac{45}{28}$

Paso 10