Cálculo Ejemplos

$\tan^{3} (θ)$

Paso 1

Escribe $\tan^{3} (θ)$ como una función.

$f (θ) = \tan^{3} (θ)$

Paso 2

La función $F (θ)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (θ) = \int \tan^{3} (θ) d θ$

Paso 4

Factoriza $\tan^{2} (θ)$ .

$\int \tan^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (θ)$ como $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (θ)) \tan (θ) d θ$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int - 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 1 \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \tan (θ) d θ + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Paso 9

La integral de $\tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int \sec^{2} (θ) \tan (θ) d θ$

Paso 10

Sea $u = \sec (θ)$ . Entonces $d u = \sec (θ) \tan (θ) d θ$ , de modo que $\frac{1}{\sec (θ) \tan (θ)} d u = d θ$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = \sec (θ)$ . Obtén $\frac{d u}{d θ}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $\sec (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Paso 10.1.2

La derivada de $\sec (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \tan (θ)$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \int u d u$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (θ) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 12

Simplifica.

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (θ)$ .

$- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (θ) = \tan^{3} (θ)$ .

$F (θ) =$ $- \ln (| \sec (θ) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (θ) + C$