Cálculo Ejemplos

$- 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$

Paso 1

Escribe $- 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$ como una función.

$f (x) = - 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int - 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 3 e^{- \frac{1}{3} x} d x + \int C d x$

Paso 5

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- 3 \int e^{- \frac{1}{3} x} d x + \int C d x$

Paso 6

Sea $u = - \frac{1}{3} x$ . Entonces $d u = - \frac{1}{3} d x$ , de modo que $- 3 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = - \frac{1}{3} x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- \frac{1}{3} x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x]$

Paso 6.1.2

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{3} x$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u + \int C d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$- 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u + \int C d x$

Paso 7.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$- 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u + \int C d x$

Paso 7.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u + \int C d x$

Paso 7.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 \int - 3 e^{u} d u + \int C d x$

Paso 8

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- 3 (- 3 \int e^{u} d u) + \int C d x$

Paso 9

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$9 \int e^{u} d u + \int C d x$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$9 (e^{u} + C) + \int C d x$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$9 (e^{u} + C) + C x + C$

Paso 12

Simplifica.

$9 e^{u} + C x + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{1}{3} x$ .

$9 e^{- \frac{1}{3} x} + C x + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = - 3 e^{- \frac{1}{3} x} + C$ .

$F (x) =$ $9 e^{- \frac{1}{3} x} + C x + C$