Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 8 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ como ${(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{3} + 8 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} + 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 8 x$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Paso 1.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Paso 1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Paso 1.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Paso 1.1.7.3

Mueve ${(x^{3} + 8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 x]$

Paso 1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 1.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 1.1.10

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8 \cdot 1)$

Paso 1.1.12

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8)$

Paso 1.1.13

Simplifica.

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Paso 1.1.13.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 8)$ .

$(3 x^{2} + 8) \frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.13.2

Multiplica $3 x^{2} + 8$ por $\frac{1}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 x^{2} + 8 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = - 8$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $3 x^{2} = - 8$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} = - 8$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 8}{3}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 8}{3}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{3}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{8}{3}$

Paso 2.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{8}{3}}$

Paso 2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{8}{3}}$ .

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{8}{3}}$

Paso 2.3.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{8}{3}}$

Paso 2.3.4.3

Reescribe $\sqrt{\frac{8}{3}}$ como $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.4.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.3.4.4.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.4.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.5

Multiplica $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 2.3.4.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.4.6.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.6.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.3.4.6.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.3.4.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.4.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.3.4.6.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.3.4.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.4.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.4.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.4.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.3.4.6.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.7.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Paso 2.3.4.7.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Paso 2.3.4.8

Combina fracciones.

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Paso 2.3.4.8.1

Combina $i$ y $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{6})}{3}$

Paso 2.3.4.8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Paso 2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Paso 2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Paso 2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 i \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{6}}{3}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{{(x^{3} + 8 x)}^{1}}}$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{x^{3} + 8 x}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{3 x^{2} + 8}{2 \sqrt{x^{3} + 8 x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x^{3} + 8 x} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x^{3} + 8 x})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ como ${(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(x^{3} + 8 x)}^{1} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 (x^{3} + 8 x) = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{3} + 4 (8 x) = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.6

Multiplica $8$ por $4$ .

$4 x^{3} + 32 x = 0^{2}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x^{3} + 32 x = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} + 32 x$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 32 x = 0$

Paso 3.3.3.1.2

Factoriza $4 x$ de $32 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (8) = 0$

Paso 3.3.3.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (8)$ .

$4 x (x^{2} + 8) = 0$

Paso 3.3.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 8 = 0$

Paso 3.3.3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3.3.4

Establece $x^{2} + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.4.1

Establece $x^{2} + 8$ igual a $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Paso 3.3.3.4.2

Resuelve $x^{2} + 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.4.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 8$

Paso 3.3.3.4.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Paso 3.3.3.4.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Paso 3.3.3.4.2.3.1

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Paso 3.3.3.4.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Paso 3.3.3.4.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Paso 3.3.3.4.2.3.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.3.3.4.2.3.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Paso 3.3.3.4.2.3.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.3.4.2.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Paso 3.3.3.4.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Paso 3.3.3.4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.3.4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Paso 3.3.3.4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Paso 3.3.3.4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Paso 3.3.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x^{2} + 8) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Paso 3.4

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} + 8 x < 0$

Paso 3.5

Resuelve $x$

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Paso 3.5.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} + 8 x = 0$

Paso 3.5.2

Factoriza $x$ de $x^{3} + 8 x$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 8 = 0$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 8$ .

$x (x^{2} + 8) = 0$

Paso 3.5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 8 = 0$

Paso 3.5.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5.5

Establece $x^{2} + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.5.1

Establece $x^{2} + 8$ igual a $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Paso 3.5.5.2

Resuelve $x^{2} + 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.5.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 8$

Paso 3.5.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Paso 3.5.5.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Paso 3.5.5.2.3.1

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Paso 3.5.5.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Paso 3.5.5.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Paso 3.5.5.2.3.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.5.5.2.3.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Paso 3.5.5.2.3.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 3.5.5.2.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Paso 3.5.5.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Paso 3.5.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Paso 3.5.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Paso 3.5.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Paso 3.5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x^{2} + 8) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Paso 3.5.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$

Paso 3.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 4

Evalúa $\sqrt{x^{3} + 8 x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{3} + 8 (0)}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{0 + 8 (0)}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$\sqrt{0 + 0}$

Paso 4.1.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$\sqrt{0}$

Paso 4.1.2.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Paso 4.1.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 0)$

Paso 5