Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} - 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$x^{2} - 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} - 4 x + 4 + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $x^{2} - 4 x + 4$ y $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 4$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} - 4 x + 4$ .

$x^{2} - 4 x + 4$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

Paso 4.1.2.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 1$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 4 (2) - 1$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{8}{3} - 8 + 4 (2) - 1$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8}{3} - 8 + 8 - 1$

Paso 4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.1.2.2.1

Escribe $- 8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 8 - 1$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 8 - 1$

Paso 4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 8 - 1$

Paso 4.1.2.2.4

Escribe $8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} - 1$

Paso 4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Paso 4.1.2.2.6

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - 1$

Paso 4.1.2.2.7

Escribe $- 1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1}$

Paso 4.1.2.2.8

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.1.2.2.9

Multiplica $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 - 8 \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$\frac{8 - 24 + 8 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{8 - 24 + 24 - 1 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.4.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{8 - 24 + 24 - 3}{3}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.5.1

Resta $24$ de $8$ .

$\frac{- 16 + 24 - 3}{3}$

Paso 4.1.2.5.2

Suma $- 16$ y $24$ .

$\frac{8 - 3}{3}$

Paso 4.1.2.5.3

Resta $3$ de $8$ .

$\frac{5}{3}$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(2, \frac{5}{3})$

Paso 5