Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan (\frac{π x}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{π x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{π x}{2}$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{π}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.2.2

Combina $\frac{π}{2}$ y $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ por $π$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $π \sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$ por $π$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{π} = \frac{0}{π}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ por $1$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = \frac{0}{π}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $π$ .

$\sec^{2} (\frac{π x}{2}) = 0$

Paso 2.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.3.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sec (\frac{π x}{2}) = \pm 0$

Paso 2.3.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\sec (\frac{π x}{2}) = 0$

Paso 2.3.4

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\sec (\frac{π x}{2})$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Paso 3.2.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Paso 3.2.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.2.2.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Paso 3.2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Paso 3.2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.2.1

Simplifica $\frac{2}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{2}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.3

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.2.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{1}{π} π + \frac{2}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.4

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.2.2.2.1.4.1

Factoriza $π$ de $π n$ .

$x = 1 + \frac{2}{π} (π (n))$

Paso 3.2.2.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$x = 1 + \frac{2}{π} (π n)$

Paso 3.2.2.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$x = 1 + 2 n$

Paso 3.2.3

Reordena $1$ y $2 n$ .

$x = 2 n + 1$

Paso 3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

${x | x = 2 n + 1}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos