Cálculo Ejemplos

$f (x) = | 3 x - 4 |$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = 3 x - 4$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 4$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.1.2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} (3 + 0)$

Paso 1.1.2.6

Combina fracciones.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |} \cdot 3$

Paso 1.1.2.6.2

Combina $\frac{3 x - 4}{| 3 x - 4 |}$ y $3$ .

$\frac{(3 x - 4) \cdot 3}{| 3 x - 4 |}$

Paso 1.1.2.6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $3 x - 4$ .

$\frac{3 \cdot (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 x + 3 \cdot - 4}{| 3 x - 4 |}$

Paso 1.1.3.2.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{9 x - 12}{| 3 x - 4 |}$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $3$ de $9 x - 12$ .

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Paso 1.1.3.3.1

Factoriza $3$ de $9 x$ .

$\frac{3 (3 x) - 12}{| 3 x - 4 |}$

Paso 1.1.3.3.2

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$\frac{3 (3 x) + 3 (- 4)}{| 3 x - 4 |}$

Paso 1.1.3.3.3

Factoriza $3$ de $3 (3 x) + 3 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 (3 x - 4) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $3 (3 x - 4) = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $3 (3 x - 4) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (3 x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $3 x - 4$ por $1$ .

$3 x - 4 = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$3 x - 4 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 4$

Paso 2.3.3

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 2.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{3 (3 x - 4)}{| 3 x - 4 |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| 3 x - 4 | = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$3 x - 4 = \pm 0$

Paso 3.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Paso 3.2.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 4$

Paso 3.2.4

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Paso 4

Evalúa $| 3 x - 4 |$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{4}{3}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{4}{3}$ por $x$ .

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$| 3 (\frac{4}{3}) - 4 |$

Paso 4.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$| 4 - 4 |$

Paso 4.1.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$| 0 |$

Paso 4.1.2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$0$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(\frac{4}{3}, 0)$

Paso 5