Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 7$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$x + 6 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x + 6 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $x + 6$ y $0$ .

$f' (x) = x + 6$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x + 6$ .

$x + 6$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x + 6 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 2.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 7$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 6$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 6$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(- 6)}^{2} + 6 (- 6) + 7$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 36 + 6 (- 6) + 7$

Paso 4.1.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (18)) + 6 (- 6) + 7$

Paso 4.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 18) + 6 (- 6) + 7$

Paso 4.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$18 + 6 (- 6) + 7$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 6$ .

$18 - 36 + 7$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.2.1

Resta $36$ de $18$ .

$- 18 + 7$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $- 18$ y $7$ .

$- 11$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(- 6, - 11)$

Paso 5