Cálculo Ejemplos

$g (y) = \frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = y - 4$ y $g (y) = y^{2} - 2 y + 8$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \frac{d}{d y} [y - 4] - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 4$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + \frac{d}{d y} [- 4]) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) (1 + 0) - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 8) \cdot 1 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Multiplica $y^{2} - 2 y + 8$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 8]}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 2 y + 8$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + \frac{d}{d y} [8])}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.10

Como $8$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $8$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2 + 0)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2.11

Suma $2 y - 2$ y $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - (y - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y - - 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 + (- y + 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Expande $(- y + 4) (2 y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y - 2) + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.1.6

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 2 y + 8 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.1.3.2

Suma $2 y$ y $8 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.2

Combina los términos opuestos en $y^{2} - 2 y + 8 - 2 y^{2} + 10 y - 8$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1

Resta $8$ de $8$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y + 0}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Suma $y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y$ y $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y - 2 y^{2} + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.3

Resta $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - 2 y + 10 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2.4

Suma $- 2 y$ y $10 y$ .

$\frac{- y^{2} + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $y$ de $- y^{2} + 8 y$ .

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Paso 1.1.3.3.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 8 y}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Factoriza $y$ de $8 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 8}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.3

Factoriza $y$ de $y (- y) + y \cdot 8$ .

$\frac{y (- y + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 8)$ .

$\frac{y (- (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7

Reescribe $- (y - 8)$ como $- 1 (y - 8)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 8))}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.1.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (y) = - \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $g (y)$ con respecto a $y$ es $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{y (y - 8)}{{(y^{2} - 2 y + 8)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$y (y - 8) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y = 0$

$y - 8 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $y$ igual a $0$ .

$y = 0$

Paso 2.3.3

Establece $y - 8$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $y - 8$ igual a $0$ .

$y - 8 = 0$

Paso 2.3.3.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 8$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $y (y - 8) = 0$ verdadera.

$y = 0, 8$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{y - 4}{y^{2} - 2 y + 8}$ en cada valor $y$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $y = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $y$ .

$\frac{(0) - 4}{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Resta $4$ de $0$ .

$\frac{- 4}{0^{2} - 2 \cdot 0 + 8}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{- 4}{0 - 2 \cdot 0 + 8}$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 0 + 8}$

Paso 4.1.2.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{- 4}{0 + 8}$

Paso 4.1.2.2.4

Suma $0$ y $8$ .

$\frac{- 4}{8}$

Paso 4.1.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1.2.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $8$ .

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Paso 4.1.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{8}$

Paso 4.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2}$

Paso 4.1.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 4.2

Evalúa en $y = 8$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $8$ por $y$ .

$\frac{(8) - 4}{{(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Resta $4$ de $8$ .

$\frac{4}{8^{2} - 2 \cdot 8 + 8}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{64 - 2 \cdot 8 + 8}$

Paso 4.2.2.2.2

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$\frac{4}{64 - 16 + 8}$

Paso 4.2.2.2.3

Resta $16$ de $64$ .

$\frac{4}{48 + 8}$

Paso 4.2.2.2.4

Suma $48$ y $8$ .

$\frac{4}{56}$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común de $4$ y $56$ .

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Paso 4.2.2.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{56}$

Paso 4.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $56$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

Paso 4.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 14}$

Paso 4.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{14}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, - \frac{1}{2}), (8, \frac{1}{14})$

Paso 5