Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$2 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 1.1.4.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$2 (1 + \ln (x))$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (x)$

Paso 1.1.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 \ln (x)$

Paso 1.1.5.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 \ln (x) + 2$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 \ln (x) + 2$ .

$2 \ln (x) + 2$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 \ln (x) + 2 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 \ln (x) + 2 = 0$

Paso 2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \ln (x) = - 2$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 \ln (x) = - 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 \ln (x) = - 2$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 2}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $- 2$ por $2$ .

$\ln (x) = - 1$

Paso 2.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Paso 2.5

Reescribe $\ln (x) = - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Paso 2.6

Resuelve $x$

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Paso 2.6.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 3.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 4

Evalúa $2 x \ln (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{1}{e}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{1}{e}$ por $x$ .

$2 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e} \ln (\frac{1}{e})$

Paso 4.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$\frac{2}{e} \ln (1 e^{- 1})$

Paso 4.1.2.3

Reescribe $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Paso 4.1.2.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\frac{2}{e} (\ln (1) - \ln (e))$

Paso 4.1.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{e} (\ln (1) - 1)$

Paso 4.1.2.7

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{2}{e} (0 - 1)$

Paso 4.1.2.8

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{2}{e} \cdot - 1$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $\frac{2}{e} \cdot - 1$ .

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Paso 4.1.2.9.1

Combina $\frac{2}{e}$ y $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{e}$

Paso 4.1.2.9.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{e}$

Paso 4.1.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{e}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$2 (0) \ln (0)$

Paso 4.2.2

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{1}{e}, - \frac{2}{e})$

Paso 5