Cálculo Ejemplos

$y = {(1 + 5 x)}^{10}$ , $(0, 1)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(1 + 5 x)}^{10})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{10}$ y $g (y) = 1 + 5 x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d y} [1 + 5 x]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 10$ .

$10 u^{9} \frac{d}{d y} [1 + 5 x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 5 x$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} \frac{d}{d y} [1 + 5 x]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 5 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [5 x]$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [5 x])$

Paso 3.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} (0 + \frac{d}{d y} [5 x])$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [5 x]$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} \frac{d}{d y} [5 x]$

Paso 3.2.4

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $y$ es $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$10 {(1 + 5 x)}^{9} (5 \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.2.5

Multiplica $5$ por $10$ .

$50 {(1 + 5 x)}^{9} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$50 {(1 + 5 x)}^{9} x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 50 {(1 + 5 x)}^{9} x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$ .

$50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$ por $50 {(1 + 5 x)}^{9}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $50 {(1 + 5 x)}^{9} x' = 1$ por $50 {(1 + 5 x)}^{9}$ .

$\frac{50 {(1 + 5 x)}^{9} x'}{50 {(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $50$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{50 {(1 + 5 x)}^{9} x'}{50 {(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(1 + 5 x)}^{9} x'}{{(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de ${(1 + 5 x)}^{9}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(1 + 5 x)}^{9} x'}{{(1 + 5 x)}^{9}} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{50 {(1 + 5 x)}^{9}}$

Paso 7

Reemplaza $x$ con $0$ y $y$ con $1$ en la expresión.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{50 {(1 + 5 (0))}^{9}}$

Paso 8

Simplifica el resultado.

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Paso 8.1

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1}{50 {(1 + 0)}^{9}}$

Paso 8.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{50 \cdot 1^{9}}$

Paso 8.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{50 \cdot 1}$

Paso 8.2

Multiplica $50$ por $1$ .

$\frac{1}{50}$