Cálculo Ejemplos

$x y^{2} = y$ , $(1, 1)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x y^{2}) = \frac{d}{d y} (y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 \cdot x y + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 x y + y^{2} x'$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x y + y^{2} x' = 1$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x' = 1 - 2 x y$

Paso 5.2

Divide cada término en $y^{2} x' = 1 - 2 x y$ por $y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $y^{2} x' = 1 - 2 x y$ por $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} x'}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{y^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} x'}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{y^{2}}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{y^{2}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Factoriza $y$ de $- 2 x y$ .

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{y (- 2 x)}{y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{y (- 2 x)}{y \cdot y}$

Paso 5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{y (- 2 x)}{y \cdot y}$

Paso 5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{1}{y^{2}} + \frac{- 2 x}{y}$

Paso 5.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2 x}{y}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2 x}{y}$

Paso 7

Reemplaza $x$ con $1$ y $y$ con $1$ en la expresión.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{{(1)}^{2}} - \frac{2 (1)}{1}$

Paso 8

Simplifica el resultado.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1} - \frac{2 (1)}{1}$

Paso 8.1.2

Divide $1$ por $1$ .

$1 - \frac{2 (1)}{1}$

Paso 8.1.3

Divide $2 (1)$ por $1$ .

$1 - (2 (1))$

Paso 8.1.4

Multiplica $- (2 (1))$ .

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Paso 8.1.4.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$1 - 1 \cdot 2$

Paso 8.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 - 2$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$- 1$