Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{- x^{2} - 25}{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = - x^{2} - 25$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} - 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $- 25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$\frac{x (- 2 x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1}) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 x^{1 + 1} - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 25)}{x^{2}}$

Paso 1.1.9

Simplifica.

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Paso 1.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} - - x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.9.2.1.1

Multiplica $- - x^{2}$ .

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Paso 1.1.9.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1 x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 25$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} + 25}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.2.2

Suma $- 2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.9.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.3.2

Reordena $- x^{2}$ y $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{x^{2}}$

Paso 1.1.9.3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(5 + x) (5 - x) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Paso 2.3.2

Establece $5 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $5 + x$ igual a $0$ .

$5 + x = 0$

Paso 2.3.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 2.3.3

Establece $5 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $5 - x$ igual a $0$ .

$5 - x = 0$

Paso 2.3.3.2

Resuelve $5 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 5$

Paso 2.3.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 5$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Paso 2.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.2.2.3.1

Divide $- 5$ por $- 1$ .

$x = 5$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 + x) (5 - x) = 0$ verdadera.

$x = - 5, 5$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 5, 5$ .

$- 5, 5$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 5)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f' (- 6) = \frac{(5 - 6) (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (- 6) = \frac{(5 - 6) (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1

Resta $6$ de $5$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 (5 - (- 6))}{{(- 6)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 (5 + 6)}{{(- 6)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Suma $5$ y $6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 \cdot 11}{{(- 6)}^{2}}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 \cdot 11}{36}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$f' (- 6) = \frac{- 11}{36}$

Paso 6.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 6) = - \frac{11}{36}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{11}{36}$ .

$- \frac{11}{36}$

Paso 6.3

En $x = - 6$ la derivada es $- \frac{11}{36}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 5)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 5)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 5, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{5}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 - \frac{5}{2}) (5 - (- \frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 - \frac{5}{2}) (5 - (- \frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.1

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}) (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}) (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 2 - 5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.4.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{10 - 5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.4.2

Resta $5$ de $10$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.5

Multiplica $- - \frac{5}{2}$ .

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Paso 7.2.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + 1 (\frac{5}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.5.2

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.6

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.7

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 + 5}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.9.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{10 + 5}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.2.9.2

Suma $10$ y $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.3.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 7.2.3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Paso 7.2.3.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{25}{2^{2}})}$

Paso 7.2.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{1 (\frac{25}{4})}$

Paso 7.2.3.6

Multiplica $\frac{25}{4}$ por $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2}}{\frac{25}{4}}$

Paso 7.2.4

Combina fracciones.

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 15}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica.

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Paso 7.2.4.2.1

Multiplica $5$ por $15$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

Paso 7.2.4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

Paso 7.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Paso 7.2.6

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 7.2.6.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{25 (3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Paso 7.2.6.2

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Paso 7.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

Paso 7.2.7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.7.1

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

Paso 7.2.7.2

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{5}{2}) = 3$

Paso 7.2.8

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 7.3

En $x = - \frac{5}{2}$ la derivada es $3$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 5, 0)$ .

Incremento en $(- 5, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 5)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 + \frac{5}{2}) (5 - (\frac{5}{2}))}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 + \frac{5}{2}) (5 - (\frac{5}{2}))}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.1

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}) (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}) (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 \cdot 2 + 5}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.4.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{10 + 5}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.4.2

Suma $10$ y $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (5 - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.6

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5 \cdot 2 - 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.8.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{10 - 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.8.2

Resta $5$ de $10$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{25}{2^{2}}}$

Paso 8.2.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2}}{\frac{25}{4}}$

Paso 8.2.4

Combina fracciones.

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Paso 8.2.4.1

Multiplica $\frac{15}{2}$ por $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15 \cdot 5}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

Paso 8.2.4.2

Multiplica.

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Paso 8.2.4.2.1

Multiplica $15$ por $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{2 \cdot 2}}{\frac{25}{4}}$

Paso 8.2.4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

Paso 8.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Paso 8.2.6

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 8.2.6.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{25 (3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Paso 8.2.6.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Paso 8.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

Paso 8.2.7

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.7.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3}{4} \cdot 4$

Paso 8.2.7.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{5}{2}) = 3$

Paso 8.2.8

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 8.3

En $x = \frac{5}{2}$ la derivada es $3$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 5)$ .

Incremento en $(0, 5)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(5, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = \frac{(5 + 6) (5 - (6))}{{(6)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (6) = \frac{(5 + 6) (5 - (6))}{{(6)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.2.1

Suma $5$ y $6$ .

$f' (6) = \frac{11 (5 - (6))}{6^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f' (6) = \frac{11 (5 - 6)}{6^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Resta $6$ de $5$ .

$f' (6) = \frac{11 \cdot - 1}{6^{2}}$

Paso 9.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = \frac{11 \cdot - 1}{36}$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $11$ por $- 1$ .

$f' (6) = \frac{- 11}{36}$

Paso 9.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (6) = - \frac{11}{36}$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $- \frac{11}{36}$ .

$- \frac{11}{36}$

Paso 9.3

En $x = 6$ la derivada es $- \frac{11}{36}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(5, \infty)$ .

Decrecimiento en $(5, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 5, 0), (0, 5)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 5), (5, \infty)$

Paso 11