Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ como una ecuación.

$y = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{3 - e^{2 y}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$ .

$\sqrt{3 - e^{2 y}} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 - e^{2 y}}}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 - e^{2 y}}$ como ${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 - e^{2 y})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 - e^{2 y})}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$3 - e^{2 y} = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- e^{2 y} = x^{2} - 3$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- e^{2 y} = x^{2} - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- e^{2 y} = x^{2} - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{2 y}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{e^{2 y}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2

Divide $e^{2 y}$ por $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$e^{2 y} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$e^{2 y} = - x^{2} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.4.2.3.1.3

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$e^{2 y} = - x^{2} + 3$

Paso 3.4.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (- x^{2} + 3)$

Paso 3.4.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.1

Expande $\ln (e^{2 y})$ ; para ello, mueve $2 y$ fuera del logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (- x^{2} + 3)$

Paso 3.4.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (- x^{2} + 3)$

Paso 3.4.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 y = \ln (- x^{2} + 3)$

Paso 3.4.5

Divide cada término en $2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.5.1

Divide cada término en $2 y = \ln (- x^{2} + 3)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Paso 3.4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Paso 3.4.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \frac{\ln (- {(\sqrt{3 - e^{2 x}})}^{2} + 3)}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Reescribe ${\sqrt{3 - e^{2 x}}}^{2}$ como $3 - e^{2 x}$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 - e^{2 x}}$ como ${(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {({(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- {(3 - e^{2 x})}^{\frac{2}{2}} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4.1.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- (3 - e^{2 x}) + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 1 \cdot 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4.4

Multiplica $- - e^{2 x}$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + 1 e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4.4.2

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(- 3 + e^{2 x} + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.5

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $- 3 + e^{2 x} + 3$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(0 + e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $0$ y $e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.5.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Paso 5.2.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Paso 5.2.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Paso 5.2.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = \ln (e^{x})$

Paso 5.2.6

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \ln (e)$

Paso 5.2.7

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x \cdot 1$

Paso 5.2.8

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 - e^{2 x}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{2 (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2})}}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - e^{\ln (- x^{2} + 3)}}$

Paso 5.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 - (- x^{2} + 3)}$

Paso 5.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 1 \cdot 3}$

Paso 5.3.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{3 + x^{2} - 3}$

Paso 5.3.7

Resta $3$ de $3$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Paso 5.3.8

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.9

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x^{2} + 3)}{2}$