Cálculo Ejemplos

$14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$

Paso 1

Escribe $14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$ como una función.

$f (x) = 14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [14 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [14 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [14 \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$14 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$14 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $14$ .

$- 14 \sin (x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 14 \sin (x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (2 \cdot \cos (2 x))$

Paso 2.3.7

Multiplica $2$ por $7$ .

$- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 14 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [14 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 14 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (14 \cos (2 x))$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 14 \sin (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 14 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 14 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 14 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (2 x))$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (2 x))$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [14 \cos (2 x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Paso 3.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- 2 \sin (2 x))$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 2$ por $14$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) - 28 \sin (2 x)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x) = 0$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 14 \sin (x) + 14 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 14 \sin (x) + 14 \cdot 1 + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.3

Multiplica $14$ por $1$ .

$- 14 \sin (x) + 14 + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 5.4

Multiplica $- 2$ por $14$ .

$- 14 \sin (x) + 14 - 28 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 6

Factoriza $- 14 \sin (x) + 14 - 28 \sin^{2} (x)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $14$ de $- 14 \sin (x) + 14 - 28 \sin^{2} (x)$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $14$ de $- 14 \sin (x)$ .

$14 (- \sin (x)) + 14 - 28 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 6.1.2

Factoriza $14$ de $14$ .

$14 (- \sin (x)) + 14 (1) - 28 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 6.1.3

Factoriza $14$ de $- 28 \sin^{2} (x)$ .

$14 (- \sin (x)) + 14 (1) + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 6.1.4

Factoriza $14$ de $14 (- \sin (x)) + 14 (1)$ .

$14 (- \sin (x) + 1) + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 6.1.5

Factoriza $14$ de $14 (- \sin (x) + 1) + 14 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$14 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 6.2

Factoriza.

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Paso 6.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.2.1.1

Reordena los términos.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Paso 6.2.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 6.2.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$14 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Paso 6.2.1.2.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Paso 6.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Paso 6.2.1.2.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Paso 6.2.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Paso 6.2.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$14 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Paso 6.2.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$14 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Paso 6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$14 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 8

Establece $- 2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $- 2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 8.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 8.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Paso 8.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 8.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 8.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 8.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 8.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 8.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 8.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 8.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 8.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.6.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 8.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 8.2.7

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Paso 9

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $\sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 9.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 9.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 9.2.4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 9.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 9.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 9.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 9.2.6

La solución a la ecuación $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $14 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 14 \cos (\frac{π}{6}) - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 14 \frac{\sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 12.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$2 (- 7) \frac{\sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 12.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 7 \frac{\sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 12.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 12.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Paso 12.1.3.2

Cancela el factor común.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Paso 12.1.3.3

Reescribe la expresión.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 12.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 7 \sqrt{3} - 28 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 12.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 28$ .

$- 7 \sqrt{3} + 2 (- 14) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 12.1.5.2

Cancela el factor común.

$- 7 \sqrt{3} + 2 \cdot - 14 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 12.1.5.3

Reescribe la expresión.

$- 7 \sqrt{3} - 14 \sqrt{3}$

Paso 12.2

Resta $14 \sqrt{3}$ de $- 7 \sqrt{3}$ .

$- 21 \sqrt{3}$

Paso 13

$x = \frac{π}{6}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{6}$ es un máximo local

Paso 14

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{6}$ .

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Paso 14.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 14 \cos (\frac{π}{6}) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 14.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 14 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 14.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (7) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 14.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (7 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 14.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Paso 14.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Paso 14.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Paso 14.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 14.2.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 14.2.1.5

Combina $7$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Paso 14.2.2

Para escribir $7 \sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Paso 14.2.3

Combina fracciones.

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Paso 14.2.3.1

Combina $7 \sqrt{3}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{7 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Paso 14.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{7 \sqrt{3} \cdot 2 + 7 \sqrt{3}}{2}$

Paso 14.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 14.2.4.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{14 \sqrt{3} + 7 \sqrt{3}}{2}$

Paso 14.2.4.2

Suma $14 \sqrt{3}$ y $7 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Paso 14.2.5

La respuesta final es $\frac{21 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5 π}{6}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 14 \cos (\frac{5 π}{6}) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- 14 (- \cos (\frac{π}{6})) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 16.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 14 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 16.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$- 14 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 16.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$2 (- 7) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 16.1.3.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 7 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 16.1.3.4

Reescribe la expresión.

$- 7 (- \sqrt{3}) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 16.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 16.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1.5.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Paso 16.1.5.2

Cancela el factor común.

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Paso 16.1.5.3

Reescribe la expresión.

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 16.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$7 \sqrt{3} - 28 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 16.1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$7 \sqrt{3} - 28 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 16.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$7 \sqrt{3} - 28 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 16.1.8.2

Factoriza $2$ de $- 28$ .

$7 \sqrt{3} + 2 (- 14) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 16.1.8.3

Cancela el factor común.

$7 \sqrt{3} + 2 \cdot - 14 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 16.1.8.4

Reescribe la expresión.

$7 \sqrt{3} - 14 (- \sqrt{3})$

Paso 16.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 14$ .

$7 \sqrt{3} + 14 \sqrt{3}$

Paso 16.2

Suma $7 \sqrt{3}$ y $14 \sqrt{3}$ .

$21 \sqrt{3}$

Paso 17

$x = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local

Paso 18

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5 π}{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 \cos (\frac{5 π}{6}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 18.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 (- \cos (\frac{π}{6})) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 18.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 18.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 18.2.1.3.2

Factoriza $2$ de $14$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (7) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 18.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot (7 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 18.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{6}) = 7 (- \sqrt{3}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 18.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Paso 18.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Paso 18.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Paso 18.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 18.2.1.6

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 18.2.1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 18.2.1.8

Multiplica $7 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} - 7 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 18.2.1.8.2

Combina $- 7$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + \frac{- 7 \sqrt{3}}{2}$

Paso 18.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} - \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Paso 18.2.2

Para escribir $- 7 \sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Paso 18.2.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.3.1

Combina $- 7 \sqrt{3}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 7 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Paso 18.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 7 \sqrt{3} \cdot 2 - 7 \sqrt{3}}{2}$

Paso 18.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 14 \sqrt{3} - 7 \sqrt{3}}{2}$

Paso 18.2.4.2

Resta $7 \sqrt{3}$ de $- 14 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{2}$

Paso 18.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Paso 18.2.6

La respuesta final es $- \frac{21 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Paso 19

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 14 \cos (- \frac{π}{2}) - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Paso 20

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 20.1

Simplifica cada término.

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Paso 20.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 14 \cos (\frac{3 π}{2}) - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Paso 20.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 14 \cos (\frac{π}{2}) - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Paso 20.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- 14 \cdot 0 - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Paso 20.1.4

Multiplica $- 14$ por $0$ .

$0 - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Paso 20.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$0 - 28 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Paso 20.1.5.2

Cancela el factor común.

$0 - 28 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Paso 20.1.5.3

Reescribe la expresión.

$0 - 28 \sin (- π)$

Paso 20.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$0 - 28 \sin (0)$

Paso 20.1.7

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 - 28 \cdot 0$

Paso 20.1.8

Multiplica $- 28$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 20.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 21

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 21.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Paso 21.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ en la primera derivada $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = - 14 \sin (- 4) + 14 \cos (2 (- 4))$

Paso 21.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.2.2.1.1

Evalúa $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 14 \cdot 0.75680249 + 14 \cos (2 (- 4))$

Paso 21.2.2.1.2

Multiplica $- 14$ por $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 + 14 \cos (2 (- 4))$

Paso 21.2.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 + 14 \cos (- 8)$

Paso 21.2.2.1.4

Evalúa $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 + 14 \cdot - 0.14550003$

Paso 21.2.2.1.5

Multiplica $14$ por $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 - 2.03700047$

Paso 21.2.2.2

Resta $2.03700047$ de $- 10.59523493$ .

$f' (- 4) = - 12.6322354$

Paso 21.2.2.3

La respuesta final es $- 12.6322354$ .

$- 12.6322354$

Paso 21.3

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ en la primera derivada $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = - 14 \sin (0) + 14 \cos (2 (0))$

Paso 21.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.3.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f' (0) = - 14 \cdot 0 + 14 \cos (2 (0))$

Paso 21.3.2.1.2

Multiplica $- 14$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 14 \cos (2 (0))$

Paso 21.3.2.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 14 \cos (0)$

Paso 21.3.2.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f' (0) = 0 + 14 \cdot 1$

Paso 21.3.2.1.5

Multiplica $14$ por $1$ .

$f' (0) = 0 + 14$

Paso 21.3.2.2

Suma $0$ y $14$ .

$f' (0) = 14$

Paso 21.3.2.3

La respuesta final es $14$ .

$14$

Paso 21.4

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ en la primera derivada $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - 14 \sin (2) + 14 \cos (2 (2))$

Paso 21.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.4.2.1.1

Evalúa $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 14 \cdot 0.90929742 + 14 \cos (2 (2))$

Paso 21.4.2.1.2

Multiplica $- 14$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = - 12.73016397 + 14 \cos (2 (2))$

Paso 21.4.2.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (2) = - 12.73016397 + 14 \cos (4)$

Paso 21.4.2.1.4

Evalúa $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 12.73016397 + 14 \cdot - 0.65364362$

Paso 21.4.2.1.5

Multiplica $14$ por $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 12.73016397 - 9.15101069$

Paso 21.4.2.2

Resta $9.15101069$ de $- 12.73016397$ .

$f' (2) = - 21.88117466$

Paso 21.4.2.3

La respuesta final es $- 21.88117466$ .

$- 21.88117466$

Paso 21.5

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ en la primera derivada $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = - 14 \sin (4) + 14 \cos (2 (4))$

Paso 21.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.5.2.1.1

Evalúa $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 14 \cdot - 0.75680249 + 14 \cos (2 (4))$

Paso 21.5.2.1.2

Multiplica $- 14$ por $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 10.59523493 + 14 \cos (2 (4))$

Paso 21.5.2.1.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (4) = 10.59523493 + 14 \cos (8)$

Paso 21.5.2.1.4

Evalúa $\cos (8)$ .

$f' (4) = 10.59523493 + 14 \cdot - 0.14550003$

Paso 21.5.2.1.5

Multiplica $14$ por $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 10.59523493 - 2.03700047$

Paso 21.5.2.2

Resta $2.03700047$ de $10.59523493$ .

$f' (4) = 8.55823446$

Paso 21.5.2.3

La respuesta final es $8.55823446$ .

$8.55823446$

Paso 21.6

Sustituye cualquier número, como $7$ , del intervalo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ en la primera derivada $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.6.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = - 14 \sin (7) + 14 \cos (2 (7))$

Paso 21.6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 21.6.2.1.1

Evalúa $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 14 \cdot 0.65698659 + 14 \cos (2 (7))$

Paso 21.6.2.1.2

Multiplica $- 14$ por $0.65698659$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 14 \cos (2 (7))$

Paso 21.6.2.1.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 14 \cos (14)$

Paso 21.6.2.1.4

Evalúa $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 14 \cdot 0.13673721$

Paso 21.6.2.1.5

Multiplica $14$ por $0.13673721$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 1.91432105$

Paso 21.6.2.2

Suma $- 9.19781238$ y $1.91432105$ .

$f' (7) = - 7.28349132$

Paso 21.6.2.3

La respuesta final es $- 7.28349132$ .

$- 7.28349132$

Paso 21.7

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = - \frac{π}{2}$ , $x = - \frac{π}{2}$ es un mínimo local.

$x = - \frac{π}{2}$ es un mínimo local

Paso 21.8

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = \frac{π}{6}$ , $x = \frac{π}{6}$ es un máximo local.

$x = \frac{π}{6}$ es un máximo local

Paso 21.9

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = \frac{5 π}{6}$ , $x = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local.

$x = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local

Paso 21.10

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = \frac{3 π}{2}$ , $x = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local.

$x = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local

Paso 21.11

Estos son los extremos locales de $f (x) = 14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ es un mínimo local

$x = \frac{π}{6}$ es un máximo local

$x = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local

$x = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local

$x = - \frac{π}{2}$ es un mínimo local

$x = \frac{π}{6}$ es un máximo local

$x = \frac{5 π}{6}$ es un mínimo local

$x = \frac{3 π}{2}$ es un máximo local

Paso 22