Cálculo Ejemplos

$x^{2} + \frac{480}{x}$

Paso 1

Escribe $x^{2} + \frac{480}{x}$ como una función.

$f (x) = x^{2} + \frac{480}{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + \frac{480}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $480$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{480}{x}$ con respecto a $x$ es $480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 x + 480 (- x^{- 2})$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 1$ por $480$ .

$2 x - 480 x^{- 2}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 480 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.3.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.2.1

Combina $- 480$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 480}{x^{2}}$

Paso 2.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x - \frac{480}{x^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \frac{480}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{480}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{480}{x^{2}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 480$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{480}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 480 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 3.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 3.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Paso 3.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 3.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 x^{- 3})$

Paso 3.3.10

Multiplica $- 2$ por $- 480$ .

$f'' (x) = 2 + 960 x^{- 3}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 960 (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 3.4.2

Combina $960$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{960}{x^{3}}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{960}{x^{3}} + 2$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia.

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Paso 5.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + \frac{480}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Paso 5.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

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Paso 5.1.2.1

Como $480$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{480}{x}$ con respecto a $x$ es $480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 5.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 5.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 x + 480 (- x^{- 2})$

Paso 5.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $480$ .

$2 x - 480 x^{- 2}$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 480 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 5.1.3.2

Combina los términos.

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Paso 5.1.3.2.1

Combina $- 480$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 480}{x^{2}}$

Paso 5.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 x - \frac{480}{x^{2}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - \frac{480}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{480}{x^{2}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$

Paso 6.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{2}, 1$

Paso 6.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 6.3

Multiplica cada término en $2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.3.1

Multiplica cada término en $2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 1} - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 6.3.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{3} - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 6.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{480}{x^{2}}$ al numerador.

$2 x^{3} + \frac{- 480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 6.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{3} + \frac{- 480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 6.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{3} - 480 = 0 x^{2}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 480 = 0$

Paso 6.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.4.1

Suma $480$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} = 480$

Paso 6.4.2

Resta $480$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} - 480 = 0$

Paso 6.4.3

Factoriza $2$ de $2 x^{3} - 480$ .

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Paso 6.4.3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 480 = 0$

Paso 6.4.3.2

Factoriza $2$ de $- 480$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 240 = 0$

Paso 6.4.3.3

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot - 240$ .

$2 (x^{3} - 240) = 0$

Paso 6.4.4

Divide cada término en $2 (x^{3} - 240) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.4.4.1

Divide cada término en $2 (x^{3} - 240) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 240)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 6.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{3} - 240)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 6.4.4.2.1.2

Divide $x^{3} - 240$ por $1$ .

$x^{3} - 240 = \frac{0}{2}$

Paso 6.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x^{3} - 240 = 0$

Paso 6.4.5

Suma $240$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 240$

Paso 6.4.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{240}$

Paso 6.4.7

Simplifica $\sqrt[3]{240}$ .

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Paso 6.4.7.1

Reescribe $240$ como $2^{3} \cdot 30$ .

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Paso 6.4.7.1.1

Factoriza $8$ de $240$ .

$x = \sqrt[3]{8 (30)}$

Paso 6.4.7.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 30}$

Paso 6.4.7.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = 2 \sqrt[3]{30}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{480}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

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Paso 7.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 7.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 2 \sqrt[3]{30}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 2 \sqrt[3]{30}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{960}{{(2 \sqrt[3]{30})}^{3}} + 2$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt[3]{30}$ .

$\frac{960}{2^{3} {\sqrt[3]{30}}^{3}} + 2$

Paso 10.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{960}{8 {\sqrt[3]{30}}^{3}} + 2$

Paso 10.1.1.3

Reescribe ${\sqrt[3]{30}}^{3}$ como $30$ .

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Paso 10.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{30}$ como $30^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{960}{8 {(30^{\frac{1}{3}})}^{3}} + 2$

Paso 10.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{960}{8 \cdot 30^{\frac{1}{3} \cdot 3}} + 2$

Paso 10.1.1.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{960}{8 \cdot 30^{\frac{3}{3}}} + 2$

Paso 10.1.1.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.1.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{960}{8 \cdot 30^{\frac{3}{3}}} + 2$

Paso 10.1.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{960}{8 \cdot 30^{1}} + 2$

Paso 10.1.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{960}{8 \cdot 30} + 2$

Paso 10.1.2

Multiplica $8$ por $30$ .

$\frac{960}{240} + 2$

Paso 10.1.3

Divide $960$ por $240$ .

$4 + 2$

Paso 10.2

Suma $4$ y $2$ .

$6$

Paso 11

$x = 2 \sqrt[3]{30}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 2 \sqrt[3]{30}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 2 \sqrt[3]{30}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $2 \sqrt[3]{30}$ en la expresión.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = {(2 \sqrt[3]{30})}^{2} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt[3]{30}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 2^{2} {\sqrt[3]{30}}^{2} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Paso 12.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 {\sqrt[3]{30}}^{2} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Paso 12.2.1.3

Reescribe ${\sqrt[3]{30}}^{2}$ como $\sqrt[3]{30^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{30^{2}} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Paso 12.2.1.4

Eleva $30$ a la potencia de $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Paso 12.2.1.5

Cancela el factor común de $480$ y $2$ .

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Paso 12.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $480$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{2 \cdot 240}{2 \sqrt[3]{30}}$

Paso 12.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{30}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{2 \cdot 240}{2 (\sqrt[3]{30})}$

Paso 12.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{2 \cdot 240}{2 \sqrt[3]{30}}$

Paso 12.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240}{\sqrt[3]{30}}$

Paso 12.2.1.6

Multiplica $\frac{240}{\sqrt[3]{30}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240}{\sqrt[3]{30}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{2}}$

Paso 12.2.1.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1.7.1

Multiplica $\frac{240}{\sqrt[3]{30}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{\sqrt[3]{30} {\sqrt[3]{30}}^{2}}$

Paso 12.2.1.7.2

Eleva $\sqrt[3]{30}$ a la potencia de $1$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{\sqrt[3]{30} {\sqrt[3]{30}}^{2}}$

Paso 12.2.1.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{1 + 2}}$

Paso 12.2.1.7.4

Suma $1$ y $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{3}}$

Paso 12.2.1.7.5

Reescribe ${\sqrt[3]{30}}^{3}$ como $30$ .

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Paso 12.2.1.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{30}$ como $30^{\frac{1}{3}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{{(30^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 12.2.1.7.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 12.2.1.7.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30^{\frac{3}{3}}}$

Paso 12.2.1.7.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.1.7.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30^{\frac{3}{3}}}$

Paso 12.2.1.7.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30}$

Paso 12.2.1.7.5.5

Evalúa el exponente.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30}$

Paso 12.2.1.8

Cancela el factor común de $240$ y $30$ .

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Paso 12.2.1.8.1

Factoriza $30$ de $240 {\sqrt[3]{30}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{30 (8 {\sqrt[3]{30}}^{2})}{30}$

Paso 12.2.1.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.1.8.2.1

Factoriza $30$ de $30$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{30 (8 {\sqrt[3]{30}}^{2})}{30 (1)}$

Paso 12.2.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{30 (8 {\sqrt[3]{30}}^{2})}{30 \cdot 1}$

Paso 12.2.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{8 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{1}$

Paso 12.2.1.8.2.4

Divide $8 {\sqrt[3]{30}}^{2}$ por $1$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + 8 {\sqrt[3]{30}}^{2}$

Paso 12.2.1.9

Reescribe ${\sqrt[3]{30}}^{2}$ como $\sqrt[3]{30^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + 8 \sqrt[3]{30^{2}}$

Paso 12.2.1.10

Eleva $30$ a la potencia de $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + 8 \sqrt[3]{900}$

Paso 12.2.2

Suma $4 \sqrt[3]{900}$ y $8 \sqrt[3]{900}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 12 \sqrt[3]{900}$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $12 \sqrt[3]{900}$ .

$y = 12 \sqrt[3]{900}$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{2} + \frac{480}{x}$ .

$(2 \sqrt[3]{30}, 12 \sqrt[3]{900})$ es un mínimo local

Paso 14