Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 64}{x}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{2} + 64}{x}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 64$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 64$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.3

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Paso 2.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Paso 2.9.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Paso 2.9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.3.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.9.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 8$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 8$ y $g (x) = x - 8$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) \frac{d}{d x} (x - 8) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica $x + 8$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8))) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (8))) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.7

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + 0)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.4.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \cdot 1) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.8.2

Multiplica $x - 8$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + x - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 8 - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 3.4.8.4.1

Resta $8$ de $8$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.4.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 8) (x - 8) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.9.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 16) (x - 8) x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.2

Expande $(- 2 x - 16) (x - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.9.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 8) - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.9.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.9.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.9.2.1.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.3.1.2

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.3.1.3

Multiplica $- 16$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x + 128) x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.3.2

Resta $16 x$ de $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 128) x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.3.3

Suma $- 2 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 128) x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 128 x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.9.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.9.2.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 128 x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 128 x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.2

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 128 x}{x^{4}}$

Paso 3.9.2.3

Suma $0$ y $128 x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x}{x^{4}}$

Paso 3.9.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.9.3.1

Factoriza $x$ de $128 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x^{4}}$

Paso 3.9.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.9.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.9.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{128}{x^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 64$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.3

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5.1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 5.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Paso 5.1.9

Simplifica.

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Paso 5.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Paso 5.1.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.9.2.1

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Paso 5.1.9.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Paso 5.1.9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.9.3.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Paso 5.1.9.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 8$ .

$f' (x) = \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x + 8) (x - 8) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Paso 6.3.2

Establece $x + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Establece $x + 8$ igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Paso 6.3.2.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8$

Paso 6.3.3

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.3.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 6.3.3.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 6.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 8) (x - 8) = 0$ verdadera.

$x = - 8, 8$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

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Paso 7.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 7.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 7.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 7.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 8, 8$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = - 8$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{128}{{(- 8)}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{128}{- 512}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $128$ y $- 512$ .

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Paso 10.2.1

Factoriza $128$ de $128$ .

$\frac{128 (1)}{- 512}$

Paso 10.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Factoriza $128$ de $- 512$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot - 4}$

Paso 10.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot - 4}$

Paso 10.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 4}$

Paso 10.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 11

$x = - 8$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 8$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = - 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 8$ en la expresión.

$f (- 8) = \frac{{(- 8)}^{2} + 64}{- 8}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$f (- 8) = \frac{64 + 64}{- 8}$

Paso 12.2.1.2

Suma $64$ y $64$ .

$f (- 8) = \frac{128}{- 8}$

Paso 12.2.2

Divide $128$ por $- 8$ .

$f (- 8) = - 16$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $- 16$ .

$y = - 16$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 8$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{128}{{(8)}^{3}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{128}{512}$

Paso 14.2

Cancela el factor común de $128$ y $512$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Factoriza $128$ de $128$ .

$\frac{128 (1)}{512}$

Paso 14.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.1

Factoriza $128$ de $512$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Paso 14.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Paso 14.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 15

$x = 8$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 8$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f (8) = \frac{{(8)}^{2} + 64}{8}$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f (8) = \frac{64 + 64}{8}$

Paso 16.2.1.2

Suma $64$ y $64$ .

$f (8) = \frac{128}{8}$

Paso 16.2.2

Divide $128$ por $8$ .

$f (8) = 16$

Paso 16.2.3

La respuesta final es $16$ .

$y = 16$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$ .

$(- 8, - 16)$ es un máximo local

$(8, 16)$ es un mínimo local

Paso 18