Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ es continua.

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Paso 2.1

Para determinar si la función es continua en $[1, 4]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

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Paso 2.1.1

Establece el denominador en $\frac{x}{x + 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 2 = 0$

Paso 2.1.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[1, 4]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.6.4

Suma $0$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(1, 4)$ .

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Paso 4.1

Para determinar si la función es continua en $(1, 4)$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Establece el denominador en $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 4.1.2

Resuelve $x$

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Paso 4.1.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.1.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(1, 4)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(1, 4)$ porque la derivada es continua en $(1, 4)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[1, 4]$ y diferenciable en $(1, 4)$ .

$f (x)$ es continua en $[1, 4]$ y diferenciable en $(1, 4)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[1, 4]$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Suma $1$ y $2$ .

$f (1) = \frac{1}{3}$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 8

Evalúa $f (b)$ del intervalo $[1, 4]$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $4$ y $(4) + 2$ .

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Paso 8.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

Paso 8.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

Paso 8.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

Paso 8.2.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ .

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Paso 8.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Paso 8.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

Paso 8.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f (4) = \frac{2}{3}$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 9

Resuelve $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$ .

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Paso 9.1

Factoriza cada término.

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Paso 9.1.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Paso 9.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

Paso 9.1.3

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

Paso 9.1.5

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

Paso 9.1.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 9.1.7

Multiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 9.1.7.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

Paso 9.1.7.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

Paso 9.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 9.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

${(x + 2)}^{2}, 9$

Paso 9.2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 9.2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 9.2.4

$9$ tiene factores de $3$ y $3$ .

$3 \cdot 3$

Paso 9.2.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$9$

Paso 9.2.6

Los factores para $x + 2$ son $(x + 2) \cdot (x + 2)$ , que es $x + 2$ multiplicado por sí mismo $2$ veces.

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ ocurre $2$ veces.

Paso 9.2.7

El MCM de ${(x + 2)}^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

${(x + 2)}^{2}$

Paso 9.2.8

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$9 {(x + 2)}^{2}$

Paso 9.3

Multiplica cada término en $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ por $9 {(x + 2)}^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 9.3.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ por $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Paso 9.3.2.2

Multiplica $9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

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Paso 9.3.2.2.1

Combina $9$ y $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Paso 9.3.2.2.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Paso 9.3.2.3

Cancela el factor común de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 9.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Paso 9.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Paso 9.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.3.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 9.3.3.1.1

Factoriza $9$ de $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

Paso 9.3.3.1.2

Cancela el factor común.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Paso 9.3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$18 = {(x + 2)}^{2}$

Paso 9.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 9.4.1

Reescribe la ecuación como ${(x + 2)}^{2} = 18$ .

${(x + 2)}^{2} = 18$

Paso 9.4.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

Paso 9.4.3

Simplifica $\pm \sqrt{18}$ .

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Paso 9.4.3.1

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 9.4.3.1.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

Paso 9.4.3.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Paso 9.4.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

Paso 9.4.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.4.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

Paso 9.4.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

Paso 9.4.4.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

Paso 9.4.4.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

Paso 9.4.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

Paso 10

Se halla una tangente en $x = 3 \sqrt{2} - 2$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 1$ y $b = 4$ .

Hay una tangente en $x = 3 \sqrt{2} - 2$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 1$ y $b = 4$ .

Paso 11

Se halla una tangente en $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 1$ y $b = 4$ .

Hay una tangente en $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 1$ y $b = 4$ .

Paso 12