Cálculo Ejemplos

$y = \ln (9 + \ln (x))$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 9 + \ln (x)$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 + \ln (x)$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 1.2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Multiplica $\frac{1}{9 + \ln (x)}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{(9 + \ln (x)) x}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{9 x + \ln (x) x}$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{x \ln (x) + 9 x}$

Paso 1.5.3

Factoriza $x$ de $x \ln (x) + 9 x$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $x$ de $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x (\ln (x)) + 9 x}$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $x$ de $9 x$ .

$\frac{1}{x (\ln (x)) + x \cdot 9}$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (x)) + x \cdot 9$ .

$f' (x) = \frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$ como ${(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x (\ln (x) + 9)$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x (\ln (x) + 9)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x (\ln (x) + 9)$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x) + 9$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x) + 9] + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x) + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6

Diferencia.

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Paso 2.6.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + 0) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.6.2.1

Suma $\frac{1}{x}$ y $0$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6.2.2

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6.2.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.6.2.3.1

Cancela el factor común.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \cdot 1)$

Paso 2.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.4.1

Multiplica $\ln (x) + 9$ por $1$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + \ln (x) + 9)$

Paso 2.6.4.2

Suma $1$ y $9$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (10 + \ln (x))$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x (\ln (x) + 9))}^{2}} (10 + \ln (x))$

Paso 2.7.2

Aplica la regla del producto a $x (\ln (x) + 9)$ .

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$

Paso 2.7.3

Reordena los factores de $- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$ .

$- (10 + \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Paso 2.7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 1 \cdot 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Paso 2.7.5

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$(- 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Paso 2.7.6

Multiplica $- 10 - \ln (x)$ por $\frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 10 - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Paso 2.7.7

Factoriza $- 1$ de $- 10 - \ln (x)$ .

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Paso 2.7.7.1

Reescribe $- 10$ como $- 1 (10)$ .

$\frac{- 1 (10) - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Paso 2.7.7.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (x)$ .

$\frac{- 1 (10) - (\ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Paso 2.7.7.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (10) - (\ln (x))$ .

$\frac{- 1 (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Paso 2.7.7.4

Reescribe $- 1 (10 + \ln (x))$ como $- (10 + \ln (x))$ .

$\frac{- (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Paso 2.7.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{10 + \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$