Cálculo Ejemplos

$y = \cot (x) + 3 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cot (x) + 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \csc^{2} (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \csc^{2} (x) + 3 (2 x)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \csc^{2} (x) + 6 x$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 6 x - \csc^{2} (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - \csc^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Paso 2.2.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \csc^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \csc (x)$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x)$ .

$6 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 - (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$6 - (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 2.3.3

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 - (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 - (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Paso 2.3.5

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 - (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x))$

Paso 2.3.6

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$6 - (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x))$

Paso 2.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 - (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x))$

Paso 2.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$6 - (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x))$

Paso 2.3.9

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$6 + 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x) + 6$