Cálculo Ejemplos

$y = - 100 x^{\frac{1}{4}}$

Paso 1

Escribe $y = - 100 x^{\frac{1}{4}}$ como una función.

$f (x) = - 100 x^{\frac{1}{4}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Como $- 100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 100 x^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $x$ es $- 100 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$- 100 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Paso 2.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 2.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 2.1.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Paso 2.1.6.2

Resta $4$ de $1$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Paso 2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 100 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Paso 2.1.8

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$- 100 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 2.1.9

Combina $- 100$ y $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{- 100 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 2.1.10

Mueve $x^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 100}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.1.11

Factoriza $4$ de $- 100$ .

$\frac{4 \cdot - 25}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.1.12

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.12.1

Factoriza $4$ de $4 x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot - 25}{4 (x^{\frac{3}{4}})}$

Paso 2.1.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 25}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.1.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 25}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$- \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$25 = 0$

Paso 3.3

Como $25 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{25}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Paso 5.2

Establece el denominador en $\frac{25}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Paso 5.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Paso 5.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 5.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{3} = 0^{4}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{3} = 0$

Paso 5.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 5.4

Establece el radicando en $\sqrt[4]{x^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} < 0$

Paso 5.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 5.5.2

Simplifica la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x < 0$

Paso 5.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 6

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = - 100 x^{\frac{1}{4}}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 7.2

La respuesta final es $- \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$- \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 7.3

En $x = - 1$ la derivada es $- \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{25}{{(1)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{25}{1}$

Paso 8.2.2

Divide $25$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 25$

Paso 8.2.3

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f' (1) = - 25$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 25$ .

$- 25$

Paso 8.3

En $x = 1$ la derivada es $- 25$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Paso 10